Американский Научный Журнал ГИПОТЕЗА РИМАНА ДЕЙСТВИТЕЛЬНА НЕ ТОЛЬКО ДЛЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

96 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
Г И П О Т Е З А Р И М А Н А Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н А Н Е Т О Л Ь К О Д Л Я П Р О С Т Ы Х
Ч И С Е Л

Мазуркин П.М.
Д-р техн. наук, проф., акад. РАЕ и РАЕН, член Европейской Академии Естествознания ,
Поволжский государственный технологический университет, г. Йошкар -Ола,
E-mail: kaf_po@mail.ru

Рассмотрен ряд натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, …, 1024 после их разложения в двоичной системе
счисления. Частными случаями этого ряда являются составные, четные и нечетные числа, а последние
делятся на простые числа и составные нечетные числа. Сравнение этих рядов выполнено по общей фор-
муле распределения двоичных чисел для всех 9 разрядов системы двоичного счисления. Показано, что
сдвиг колебания двоичного числа различен для разновидностей натуральных чисел. Доказано, что дей-
ствительный корень дзэта -функции Римана 1/2 существует для любого ряда чисел, составленных из ряда
натуральных чисел.
В пределе при повышении мощности рядов из действительного корня выч итается синусоида (для ря-
дов нечетных, простых и нечетных составных чисел) и функция косинуса (для рядов натуральных, состав-
ных и целых чисел), амплитуда которых также равна 1/2, а полупериодом тригонометрической функции
являются два числа: 1 – для рядов н атуральных и составных натуральных чисел; 2 – для рядов нечетных
натуральных, простых, составных нечетных и четных чисел. При этом под функциями синуса и косинуса
разновидности рядов из натуральных чисел расположены на критических линиях Римана таким образ ом:
а) на нулевой вертикали двоичного разложения рядов натуральных и составных чисел значение ࡮; б) на
первой вертикали двоичного разложения рядов нечетных, простых, составных нечетных и целых нату-
ральных чисел ࡮ʆϺ.
Ключевые слова : натуральные числа, про стые числа, другие разновидности, двоичная система счис-
ления, разложение рядов, закономерности, сравнение, критичная линия, корень 1/2

1. Введение . В зарождающемся математиче-
ском анализе XVII -XVIII веков присутствовали два
основных подхода: наглядный нестрогий механико -
геометрический; формальный алгебраический . С
этих двух точек зрения воспринималось и понятие
функции [9]. В научной дискуссии о струне , раз-
вернувшейся в XVIII веке между крупнейшими
учёными того времени, подробно рассматривалось
понятие функции.
Даниил Бернулли вступил в спор между Л. Эй-
лером и Д’Аламбером, подвергнув критике их ре-
шения с точки зрения физики как чрезвычайно аб-
страктные. В своих публикациях он отмечал, что
это замечате льные математические результаты, но
спрашивал: «при чём здесь звучащие струны?». Ис-
ходя из представлений о природе колебаний, он
развивает идею о важной роли «чистых колебаний»
синусоидальной формы, появившуюся ещё у Тей-
лора. Его догадка заключалась в том, что произ-
вольное колебание может быть представлено как
«наложение» или сумма нескольких чистых коле-
баний (принцип суперпозиции), что соответство-
вало наблюдением за струной: издаваемый ею звук
состоит из основного тона и множества обертонов.
Бернулли нашёл решение уравнения колебания в
виде суммы тригонометрического ряда и утвер-
ждал (опять же, исходя из физических соображе-
ний), что таким рядом можно представить произ-
вольную функцию. Это предположение он не мог
подтвердить математически – в частности, он не
знал формулы для вычисления коэффициентов та-
кого ряда. Тем не менее, он полагал, что его реше-
ние не только имеет бо
́льший физический смысл,
чем решения Д’Аламбера и Эйлера, но и является
более общим [9].
Результаты Фурье ответили на один из ключе-
вых вопро сов в споре о струне – о представлении
широкого класса функций тригонометрическим ря-
дом. В статье [13] мы доказали, что любой кусок
ряда простых чисел можно представить в виде
суммы асимметричных вейвлетов.
Ключевым моментом при анализе рядов про-
стых чисе л явилось переход от десятичной системы
счисления к двоичной системе счисления [14], что
и позволило нам доказать гипотезу Римана и дей-
ствительном корне 1/2 [15].
2. Изучение ряда простых чисел . До Л. Эй-
лера со времен Евклида ряд простых чисел изу-
чался то лько как набор каких -то нелогичным обра-
зом расставленных чисел. С начала XVII века мате-
матики стали больше обращать внимания на
распределение простых чисел в ряду натуральных
чисел. В итоге до настоящего времени сам ряд про-
стых чисел не изучается. Аналитич еский метод ана-
лиза простых чисел, включая и рассмотрение их
распределения в системе счисления комплексных
чисел, так и не был создан.
За почти 400 лет изучение распределения про-
стых чисел среди ряда натуральных чисел пришло
к сильнейшему пессимизму, котор ое выражается
суждениями известных математиков (цит. по Con-
stantine _Adraktas _has _proven _on_the _b.pdf ):
– «Математики тщетно пытались по сей день
обнаружить некоторый порядок в последователь-
ности простых чисел, и у нас есть основания пола-
гать, что это таинственность, в которую ум никогда
не проникнет» (цит. по
The_Prime_Numbers_have_a_definitive_Orde.pdf),
Л. Эйлер;

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 97
– В 1975 году Дон Цагир отмечал [28]: «Есть
два факта о распределении простых чисел, которые
я надеюсь убедить вас в подавляющем большин-
ств е, что они будут окончательно выгравированы в
ваших сердцах. Во -первых, несмотря на их простое
определение и роль как строительных блоков нату-
ральных чисел, простые числа растут, как сорняки,
среди натуральных чисел, по -видимому, не подчи-
няются никакому др угому закону, чем случайно-
сти, и никто не может предсказать, где будет про-
растать следующий. Второй факт еще более пора-
зителен, поскольку в нем говорится об обратном:
цифры показывают потрясающую закономерность,
что существуют законы, регулирующие их повед е-
ние, и что они подчиняются этим законам с почти
военной точностью» (цит . по The_Prime_Num-
bers_have_a_definitive_Orde.pdf);
– «По крайней мере, миллион лет, прежде чем
мы поймем « Primes », Пол Эрдоса;
– Теренс Тао - «Наша вера в случайную при-
роду простых чи сел и криптографии».
Простые числа не являются случайными на ос-
нове основной теоремы арифметики. При этом ос-
новная теорема арифметики утверждает, что каж-
дое положительное целое число (кроме числа 1) мо-
жет быть представлено в точности одним способом,
кроме перегруппировки, как произведение одного
или нескольких простых чисел (Харди и Райт, 1979,
с. 2 -3).
3. Теория чисел до Гаусса. Важные теоремы о
целых числах были доказаны уже в древности. Так,
например, в школе Пифагора (V в. до н. э.) были
найдены в беско нечном числе такие взаимно про-
стые квадраты целых чисел, сумма которых тоже
квадрат ߚ஼+ߛ஼ි ߜ஼. В «Началах» Эвклида (III в.
до н. э.) мы находим доказательство бесконечности
числа простых чисел. В сочинении Диофанта (III в.
н. э.) рассмотрены способы реше ния различных не-
определенных уравнений в рациональных числах
[2].
Первый, кто в новое время начал глубокие ис-
следования целых чисел, был Пьер Ферма (1601 -
1665) из Тулузы. Задачи, решенные Ферма, и осо-
бенно теоремы, высказанные им, но доказательства
которы х он скрыл по обычаю того времени, произ-
вели большое впечатление на последующих мате-
матиков. Ферма имел особую способность прони-
кать в самые глубокие тайны чисел.
Большая часть задач, оставленных Ферма по-
следующим поколениям математиков, была
решена Эйле ром (1707 —1783) и Лагранжем
(1736 —1813), которые также поставили и решили
многие дальнейшие собственные задачи. Лежандр
(1752 —1833) опубликовал первый большой трак-
тат о теории чисел, в котором собрал все сделанное
до него и добавил много нового.
Таково бы ло положение теории чисел до
Гаусса [2].
Вся трудность теории чисел состоит в том, что
свойства целых чисел относительно умножения
(мультипликативные свойства) с их свойствами от-
носительно сложения (с их аддитивными свой-
ствами) связаны очень сложно.
По кла ссификации А.Н. Колмогорова [5, с.28]
время до VI -V веков было периодом зарождения
математики , а с этого момента времени наблюда-
ется начало периода элементарной математики .
«С употреблением переменных величин в аналити-
ческой геометрии французского ученого Р. Декарта
и создания дифференциального и интегрального
исчисления начинается период математики пере-
менных величин , который можно условно назвать
также периодом «высшей математики». Есте-
ственно, впрочем, что в ни этот, ни в следующий
период не прекращалось и дальнейшее развитие
элементарной математики» [5, с.29].
Развитие элементарной математики приторма-
живается (в Западной Европе в начале XVII века),
когда центр тяжести математических интересов пе-
реносится в область математики переменных вели-
чин [5, с.33]. У Виета представление о тригономет-
рических функциях с аргументом от 0 до +с воз-
никает только в XVI веке. Но до сих пор ряд
простых чисел, благодаря Гауссу, начинается с
цифры 2, хотя в 15 лет ему подарили таблицу про-
стых чисел, начинающихся с цифры 1. Так им обра-
зом, двоичная система счисления 0 и 1 напрочь
были отрезана от ряда простых чисел. Мы восста-
навливаем функциональное представление полного
ряда простых чисел 0, 1, 2, 3, 5, 7, … и тем самым
появляется возможность получения тригонометри-
ческих функций после разложения простых чисел
из десятичной системы счисления в двоичной си-
стеме счисления. Тогда получается, что ряд нату-
ральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, … также содержит в
начале двоичную систему счисления.
4. Ряд простых чисел как распределение в
деся тичной системе счисления . Л. Эйлер впервые
привлек (1737, 1748, 1749 годы) для изучения про-
стых чисел дзэта -функцию, чем положил начало
аналитической теории чисел [5, с.57].
Л. Эйлер был первым из математиков, кто стал
создавать общие методы и применять др угие раз-
делы математики, в частности математический ана-
лиз, к решению задач аналитической теории про-
стых чисел . Дзэта -функция была введена в 1737
году Л. Эйлером как функция вещественной пере-
менной. Затем эта функция рассматривалась Дири-
хле и, особенно успешно, Чебышёвым при изуче-
нии закона распределения простых чисел . Однако
наиболее глубокие свойства дзета -функции были
обнаружены позднее, после работы Римана (1859),
где дзета -функция рассматривалась как функция
комплексного переменного.
Аналитическая т еория чисел ведет свое
начало от Эйлера. Затем Дирихле и Чебышев про-
должали развитие этих идей в вещественной обла-
сти. Новую струю влил Риман, который вышел в
комплексную плоскость и начал использовать но-
вое аналитическое продолжение. Методы аналити-
ческой теории чисел употребляли в теории алгебра-
ических чисел Дирихле, Дедекинд, Кронекер,
Фробениус, Чеботарев, Хекке, Зигель, Хейльбронн
и др. Важный прием для аддитивных задач приду-
мал Вороной. Блестящее развитие та же идея, хотя,
по -видимому, и независимо от Вороного, получила

98 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
в работах Рамануджана, Харди и Литтльвуда. Важ-
ной главой аналитической теории чисел является
оценка тригонометрических сумм, первый далеко
идущий результат в которой был получен в 1914 г.
Г. Вейлем. Наиболее глубокие новые идеи в этой
об ласти были развиты Виноградовым, который,
между прочим, получил оценки тригонометриче-
ских сумм по простым числам [5, с.894 -895].
Период, начавшийся в 1914 г. описанными
выше работами Г. Вейля и И.М. Виноградова и по
1934 г., можно назвать вторым этапом раз вития тео-
рии тригонометрических сумм в теории чисел. По
мнению И. М. Виноградова, характерными чертами
этого этапа были две:
1) отказ от нахождения точных значений сумм
и переход к их оценкам, но зато;
2) освобождение от требования, чтобы выска-
зывания, при их помощи получаемые, относились
только к полной системе вычетов. Однако сохраня-
лось условие, чтобы суммирование производилось
по отрезку чисел натурального ряда, взятых подряд
[5, с.904].
5. Теория функций в действительной обла-
сти . В период увлечения теорией функций ком-
плексного переменного крупнейшим представите-
лем интереса к к конкретным вопросам теории
функций в действительной области является
П.Л. Чебышев [10]. Наиболее ярким выражением
этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854
года) Чебышёв ым, исходя из запросов теории меха-
низмов, теория наилучших приближений [5, с.72].
Затем П.Л. Чебышёв получает (1848, 1850) основ-
ные результаты о плотности расположения в
натуральном ряде простых чисел , до этого Дири-
хле доказывает (1837) теорему о существов ании
бесконечного числа простых чисел в арифметиче-
ских прогрессиях [5, с.73].
Из многочисленных открытий Чебышёва надо
упомянуть, прежде всего, работы по теории чисел.
Начало их положено в прибавлениях к докторской
диссертации Чебышёва «Теория сравнений», напе-
чатанной в 1849 году [10].
Число простых чисел, не превышающих задан-
ного натурального ߚ, обозначается символом π(ߚ).
Конечно, некоторые значения этой функции π(ߚ)
можно точно установить по таблице простых чисел.
Так, например, без учета системы дво ичного счис-
ления 0, 1 на отрезке [1; 10] π(10)=4 (2; 3; 5; 7); на
отрезке [1; 100] значение плотности π(100)=25 про-
стых чисел и т.д.
После Евклида (III век до н.э.), доказавшего
изящным строгим рассуждением, что в последова-
тельности простых чисел нет наибо льшего, стало
ясным, что π(ߚ) неограниченно возрастает с возрас-
танием ߚ ; но по какому же закону?
Век следовал за веком, и только Чебышёву
удалось первым «прорубить окно» в таинственную
и казавшуюся неприступной область теории рас-
пределения простых чисел . С большим остроумием
и глубиной анализа он доказал, что при достаточно
больших значениях ߚ истинное значение π( ߚ) нахо-
дится по неравенству Чебышева
(http://math4school.ru/chebyshev.html )
ϸɪЁϺ ߚʆߎߐߚ < ࡮(ߚ)< ϹɪϸϾ ߚʆߎߐߚ . (2)
Изучая таблицу простых чисел, можно заме-
тить, что с увеличением x, так называемая «средняя
плотность» простых чисел на отрезке натуральных
чисел от 1 до x, убывает. Первый существенный
вклад в решение проблем, связан ных с распределе-
нием простых чисел, внес П.Л. Чебышев. Из его
двух знаменитых мемуаров 1848 и 1852 годов берут
своё начало «элементарные методы» теории рас-
пределения простых чисел, т.е. методы, не исполь-
зующие теорию функций комплексного перемен-
ного. Отмет им, что в 1949 году А. Сельберг, допол-
нив идеи Чебышева собственными
принципиальными соображениями, нашел доказа-
тельство асимптотического закона распределения
простых чисел, не используя, подобно Адамару и
Валле -Пуссену, теорию функций комплексного пе-
ремен ного. Это было мировой сенсацией в матема-
тике, так как многие известные математики счи-
тали, что это невозможно! [6].
Вернемся к древним грекам, заложившим ос-
новы современной науки о числе. Современником
и другом Архимеда остроумнейшим человеком был
Эратосф ен. К числу его изобретений относится так
называемое «решето Эратосфена » – «просеиваю-
щее» числа и позволяющее отобрать из них про-
стые. По сути дела – это был первый в мире алго-
ритм - свод правил , строго следуя которым непре-
менно получишь верный результат : располагая ряд
чисел в их натуральной (естественной) последова-
тельности.
В современной литературе по теории чисел ,
или «высшей арифметике » как ее иногда назы-
вают профессионалы, алгоритм поиска простых чи-
сел по методу решета Эратосфена приводится, как
прави ло, в начале изложения материала.
Разработкой основ теории чисел занимались
такие корифеи математики, как Эйлер, Гаусс, Ле-
жандр, Чебышев и его ученик - Золотарев, а также
всем известный Ферма. Так, Гаусс в свое время пи-
сал о теории чисел: « Высшая арифметик а предла-
гает нам неиссякаемый запас интересных истин -
истин, которые не стоят изолированно, а соединены
глубокими внутренними связями и между кото-
рыми по мере увеличения нашего знания мы посто-
янно открываем все новые и иногда полностью
неожиданные связи » [1].
Сравнение подходов П.Л. Чебышёва и Эрато-
сфена показывает, со времени Евклида, изучавшего
сам ряд простых чисел и доказавшего бесконеч-
ность продолжения этого ряда, произошло разделе-
ние понимания объекта исследования. Евклид и
Эратосфен рассматривали не посредственно сам ряд
натуральных и простых чисел, а затем ученые не
смогли продолжить прямые исследования и пере-
шли на другой путь – это изучение плотности раз-
мещения простых чисел в некотором заданном ряде
натуральных чисел. В итоге проблема распределе-
ни я простых чисел, как известно, снова встала в ту-
пик. Тогда получается, что в высшей арифметике
пора снова вернуться к Евклиду и Эратосфену, за-
тем тщательно изучать структуру и функции ряда

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 99
простых чисел изнутри самого ряда. Нужно отка-
заться от изучения ряд а простых чисел снаружи,
тем более отказаться от дзэта -функции в комплекс-
ных числах.
Далее рассмотрим достижения математики в
изучении распределения простых чисел (отлича-
ется от размещения простых чисел среди натураль-
ных чисел) в комплексной области.
6. Переход к распределению простых чисел
в комплексной области . По нашему мнению,
увлечение математиков к изучению ряда простых
чисел косвенно, через распределение в виде дзэета -
функции от Л. Эйлера, П.Л. Чебышёва и, особенно,
в дальнейшем к Б. Риману в компл ексных перемен-
ных, сильно затормозило развитие элементарной
теории простых чисел и тем более высшей арифме-
тики.
В XVII веке в математике прочно укрепились
комплексные числа, вклад в изучение которых
внесли Абрахам де Муавр 1667 -1754) и Леонард
Эйлер (1707 -1783). Затем в начале XIX века фран-
цузский математик О. Коши (1821) создал основы
теории функций комплексного переменного . По
академику А.Н. Колмогорову [5, с.60], большие но-
вые математические теории возникают также из
внутренних потребностей самой матема тики. Та-
ково в основном было развитие теории функций
комплексного переменного, занявшей в начале и в
середине XIX века центральное положение во всем
математическом анализе. Главная линия заключа-
лась здесь в том, что переход в комплексную об-
ласть делал боле е ясными и обозримыми свойства
изучаемых функций.
На основе ясного понимания природы ком-
плексных чисел возникает теория функций ком-
плексного переменного. Гаусс очень много знал в
этой области, но почти ничего не публиковал. Лишь
значительно позже (комплек сные числа впервые
изучал Арган, 1806) в 1831 году Гаусс явно изло-
жил теорию комплексных чисел. Характер теории
функций комплексного переменного еще более
усиливается в середине XIX века у немецкого мате-
матика Б. Римана. Естественным геометрическим
носител ем аналитической функции в случае ее мно-
гозначности является не плоскость комплексного
переменного, а соответствующая «риманова по-
верхность». Геометрические идеи Б. Римана оказы-
ваются в дальнейшем все более определяющими
весь стиль мышления в области теори и функций
комплексного переменного [5, с.71 -72].
Как следствие, по частным случаям плотности
распределения возникли так называемые специаль-
ные ряды простых чисел, а также множество допол-
нительных гипотез (открытые проблемы теории чи-
сел) о простых числах.
Таким образом, Б. Риман в 1859 году опубли-
ковал дзэту -функцию по комплексной переменной
и его подход к выявлению закона распределения
простых чисел в системе десятичного счисления
ныне считается классическим подходом [11]. В
итоге все частные случае не могу т покрыть идеи
дзэта -функции Римана, как она сама сделала с эле-
ментарной теорией простых чисел П.Л. Чебышёва.
Из всей теории Б. Римана мы выделяем только по-
стулат о действительном корне.
Гипотеза Римана распределения нулей дзэта -
функции гласит: «Все нетри виальные нули дзэта -
функции имеют действительную часть, равную
1/2». Риман обнаружил, что количество простых
чисел, не превосходящих ߚ, – функция распределе-
ния простых чисел, обозначаемая ࡮(ߚ) – выража-
ется через распределение так называемых «нетри-
виальн ых нулей» дзэта -функции. О значениях
дзэта -функции в нечетных целых числах известно
мало. Числа -2, -4, -6, … образуют тривиальные
нули дзэта -функции Римана, и других веществен-
ных нулей у этой функции нет. Все остальные нули,
называемые « нетривиальными », р асположены в
полосе ϸ< ޺߇ (ߕ)< Ϲ симметрично относительно
так называемой «критической линии» ϹʆϺ+ߋߖɧߖٖ
ֿ. Открытие Б. Римана в 1859 г., состоящее в том,
что комплексные нули дзэта -функции определяют
закон распределения простых чисел, сделало эпоху
в тео рии простых чисел. Риман нашел явную фор-
мулу, связывающую функцию ࡮(ߚ) с суммой по ну-
лям дзэта -функции [12].
Доказательство гипотезы Римана о рациональ-
ном корне 1/2 дано нами в [15, 7, 16].
8. Числовые системы. Среди простых чисел
попадаются пары таких, разность между которыми
равна двум (простые близнецы), однако конечность
или бесконечность таких пар не доказана. В других
статьях мы покажем, что структура ряда простых
чисел гораздо сложнее.
Евклид считал очевидным, что с помощью
умножения только просты х чисел можно получить
все натуральные числа, причём каждое натуральное
число представимо в виде произведения простых
чисел единственным образом (с точностью до по-
рядка множителей). Таким образом, простые числа
образуют мультипликативный базис натурального
ряда. Первыми задачами о простых числах были та-
кие: как часто они расположены в натуральном
ряде и как далеко они отстоят друг от друга. Изуче-
ние размещения простых чисел привело к созданию
алгоритма (правила), позволяющего получать таб-
лицы простых чисел. Таким алгоритмом является
Эратосфена решето ( III век до н. э.). Евклид в
«Началах» указал способ нахождения общего
наибольшего делителя двух чисел (Евклида алго-
ритм), следствием которого является теорема об од-
нозначном разложении натуральных чисел на про-
стые сомножители [4].
В элементарной теории чисел для известных
множеств чисел (без комплексных) справедливо
выражение
PNZQR , (1)
N -
P ←= k== = k== →= k=0
↓= = ↓= = =
= = m== ←= k=1 →= k=1-
P
Рис . 1. Граф связей между
числовыми системами

100 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
в котором приведены следующие числовые си-
стемы.
Простые числа P (рис. 1) - натуральные числа,
которые делятся только (исключается требование
«на себя») на единицу. При этом полный ряд про-
стых чисел имеет вид
P= {ϸɨϹɧϺɧϻɧϽɧϿɧϹϹ ɧϹϻ ɧϹϿ ɧɫ}. При делении на 1
получим ряд P/1= {ϸʆϹɧϹʆϹɧϺʆϹɧϻʆϹɧϽʆϹɧϿʆϹɧϹϹ ʆ
ϹɧϹϻ ʆϹɧϹϿ ʆϹɧɫ} , равный себе, а при делении на
самого себя получим ряд из единиц P/P= {ϸʆ
ϸɨϹɧϹɧϹɧϹɧϹɧϹɧϹɧϹɧɫ}. Отношение 0/0 становится
неопределенностью, а ряд единиц сводит простые
числа в цифру 1. Тогда ряд простых чисел 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, …, предложенный Гауссом, при делении
на самого себя сводится к цифре 1.
Цифра 0 в любом ряду из соответствия (1)
находится в особом «нулевом» десятичном разряде
ߋ஻஺ ි ϸ, содержащем одно простое число. Первый
десятичный разряд содержит по пять простых и со-
ставных чисел, и эта группа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
из десяти натуральных чисел является симметрич-
ным: вначале отрезка ряда расположены простые
числа 3 + 1 + 1, а с конца к началу – составные числа
по схеме 1 + 1 + 3.
Тогда двоичная система счисления будет
началом полного ряда простых чисел в виде множе-
ства P 2ි {ϸɨϹ}, а Гауссов ряд простых чисел PGි
{ϺɧϻɧϽɧϿɧϹϹ ɧϹϻ ɧϹϿ ɧɫ} его продолжением. В итоге
получаем P = P 2 + P G. Продолжение P G вполне
можно отобразить через си стему двоичного счисле-
ния P 2. причем любой ряд по (1) также можно запи-
сать в двоичных кодах.
Почему 0 и 1 не восприняты в теории чисел,
нам непонятно. Практически в библиотеке OEIS из-
вестны специальные ряды простых чисел напри-
мер, числа Мерсенна Ϻ్−Ϲ (URL :
http://oeis.org/A000225 ), которые начинаются с
цифры 0, а некоторые начинаются с цифры 1.
Натуральные числа , получаемые при есте-
ственном счёте, обозначается N. Мы принимаем
множество натуральных чисел с нулём, то есть
N= {ϸɧϹɧϺɧϻɧɫ}.
На рисунке 1 для ряда простых чисел образу-
ются следующие дополнения:
N-P – составные натуральные числа 4, 6, 8, 9,
10, 12, 14, 15, 16, …;
N0 – четные натуральные числа 0, 2, 4, 6, 8, 10,
12, 14, 16, …;
N1 – нечетные натуральные чи сла 1, 3, 5, 7, 9,
11 , 13, 15, 17, …;
N1-P – составные нечетные натуральные числа
9, 15, 21, 25, ….
Полный ряд простых чисел будет содержать
два первых числа 0 и 2 из ряда четных натуральных
чисел, а остальные простые числа размещаются в
ряду нечетных чисе л.
Целые числа , получаемые объединением
натуральных чисел с множеством отрицательных
чисел и нулём, обозначаются Z ි {ɫ−
Ѐɧ−Ͽɧ−Ͼɧ−Ͻɧ−ϼɧ−ϻɧ−Ϻɧ−ϹɧϸɧϹɧϺɧϻɧϼɧϽɧϾɧϿɧЀɧɫ}
. С отрицательными числами получим ряд целых
простых чисел PZ ි {ɫ −
Ͽɧ−Ͻɧ−ϻɧ−Ϻɧ−ϹɧϸɧϹɧϺɧϻɧϽɧϿɧɫ}, результаты изу-
чения которых опубликованы в [14, 17, 18, 19, 20].
Рациональные числа – числа, представлен-
ные в виде дроби Q = Z / N (N ≠ 0). Для рациональ-
ных чисел определены все четыре «классические»
арифметические действия: сложение, вычитание,
умножение и деление (кроме деления на ноль).
Из определения простого числа (делится на 1 и
на самого себя) получим рациональные простые
числа PQ ={ɫ ϹʆϹϹ ɧϹʆϿɧϹʆϽɧϹʆϻɧϹʆϺɧϹʆϹɧϸʆϹɧϹʆ
ϹɧϺʆϹɧϻʆϹɧϽʆϹɧϿʆϹɧϹϹ ʆϹɧɫ}.
Действительные (вещественные) числа
представляют собой расширение множества рацио-
нальных чисел, замкнутое относительно некоторых
(важных для математического анализа) операций
предельного перехода. Множество вещественных
чисел обозначается R. Двоичное число ߜ разложе-
ния простых и других видов чисел мы будем исчис-
лять в десятичной системе счисления как веще-
ственное число. Погрешность этого разложения за-
висит от представления числа ࡮ි ϻɪϹϼϹϽЁ ɫ,
которое в нашем компьютере исчисляется с 18 зна-
ками после запятой .
После двоичного разложения любых рядов чи-
сел по кодам 0 или 1 в каждой вертикали получен-
ный ряд двоичных чисел принимаем за отдельную
статистическую выборку в зависимости от типа
распределения чисел (натуральное, простое и др.).
Далее проводим идентифик ацию некой исходной
статистической закономерности по этим статисти-
ческим выборкам. При этом погрешность измере-
ния в этих выборках равна нулю. Затем выбираем
ту вертикаль двоичного разложения, по которой
наблюдается наибольший коэффициент корреля-
ции, равный 1,0000.
9. Элементарные методы анализа размеще-
ния простых чисел. Как известно, многие матема-
тические функции «работают» только в первом по-
ложительном тригонометрическом квадранте. Ком-
плексная плоскость может рассматривать функции
во всех четырех тригономе трических квадрантах.
Однако для ряда простых чисел 0, 1,2, 3, 5, 7, … с
положительными числами достаточно рассмотреть
только положительную полуось абсцисс. Поэтому
дзэта -функция Римана в комплексных переменных
становится функционально избыточной.
Долгое время не удавалось получить доказа-
тельства закона распределения простых чисел без
применения методов теории функций комплекс-
ного переменного, первые доказательства (Ж. Ада-
мар, Ш. Валле -Пуссен) применяли эти методы.
Многие математики (А.Э. Ингам, Г. Харди и др.)
даже считали, что элементарного доказательства не
может существовать. Первое полностью элементар-
ное доказательство было получено в 1946 г. А.
Сельбергом и П. Эрдёшом [3, с.78].
Нами были рассмотрены так называемые при-
ращения простых чисел [22] и свя зь между физи-
ческими законами и закономерностью распределе-
ния в ряду простых чисел [21].
10. Пример разложения ряда простых чисел
в двоичной системе счисления. Мы принимаем

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 101
простые числа по [27] как полный набор из ряда це-
лых чисел [7, 8]. В статье рассмо трим только поло-
жительные простые числа, включая 0 и 1, а также
положительные составные числа 4, 6, 8, 9, 10, … до
числа 1024 (табл. 1) и другие множества по схеме
на рисунке 1.
Для примера статистического моделирования
[23, 24, 25, 26] принят набор из 10 24 натуральных
чисел, который имеет примерно 10 3 десятичных чи-
сел, 2 10 чисел в двоичной системе счисления и 36
групп приращений в ряду простых чисел, начинаю-
щих с приращения 2 [22]. Из данных таблицы 1
видно, что при расположении позиций двоичного
разложен ия слева направо (для наглядности) триви-
альные нули расположены за правыми единицами.
При этом нетривиальные нули расположены от
столбца ߋි ϸ при до единицы на правой стороне
матрицы.
Таким образом, двоичное разложение десятич-
ных чисел позволяет повысить и наглядность рас-
пределения простых и иных чисел.
Таблица 1
Пример разложения в двоичных кодах рядов натуральных и простых чисел
Двоичная
система
Натураль-
ные
числа
Простые
числа
Фактические значения двоичного числа
по разрядам двоичной системы счисления =
= = = = = = M= N= O= P= Q= R= S= T= U= V=
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 2 2 2 0 1 0 0 Тривиальные нули 0 0
3 3 3 1 1 0 0 0 0
2 4 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
5 4 5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
6 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
7 5 7 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
3 8 8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
9 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
10 10 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
11 6 11 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
12 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
13 7 13 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
14 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
… … … … … … … … … … … … … … … …
1018 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
1019 172 1019 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
1020 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1021 173 1021 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1022 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1023 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 1024 1024 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

В таблице 1 символом обозначаются фак-
тические коды 0 и 1 в двоичной системе счисления,
а затем символом ߜ – вещественные значения дво-
ичного числа , получаемые идентификацией неких
закономерностей по устойчивым законам [23, 24,
25, 26].
Тогда в двоичной системе ряды чисел по схеме
на рисунке 1 определяются выражением
. (2)
Параметр формулы (2) образует так назы-
ваемую таблицу инцидентности . Иначе говоря,
коды 0 или 1 двоичной системы превращаются в ло-
гические значения «да» или «нет».
11. Распределения двоичных чисел по дво-
ичным разрядам . В таблице 1 имеем ϸ≤ ߋ≤ ߏ ි
Ё и в книге [7] было доказано, что любой частный
ряд по вертикали ߋ, составленный из каких -то чисел
из двоичной системы счисления, характеризуется
приближенно уравнением
ߜි ϹιϺ−ॡ߅ߑߕ (࡮ߚ ʆআ−߃) (3)
где ߜ – расчетное значение двоичного
вещественного числа по формуле (3),
1/2 – действительный корень дзэта -функции
Римана,
ॡ – амплитуда (поло вина) колебания двоич-
ного вещественного числа относительно линии
действительного корня 1/2 дзэта -функции Римана;
ߚ – значение числа в некотором ряду простых,
натуральных или иных типов чисел, распространя-
емая по схеме на рисунке 1 на все виды частных ря-
дов из натуральных чисел; izˆ i i i2 i 10 N j jP   izˆ 
 
m
i
ii N j z N P
0
2ˆ izˆ

102 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
আ – полупериод колебания двоичного числа,
который, как и половина амплитуды, может иметь
формулу со сложной структурой, например, в виде
асимметричного вейвлет -сигнала [13];
߃ – сдвиг волны колебательного возмущения
двоичного вещ ественного числа, рад.
Функция косинуса симметрична относительно
положительной полуоси абсцисс, поэтому она
предпочтительней по сравнению с синусом для
процесса идентификации закономерностей по ста-
тистическим данным. При этом полный ряд про-
стых чисел = 0, 1, 2, 3, 5, 7. …, а также и другие
ряды по схеме на рисунке 1, как идеально достовер-
ные статистические выборки, являются математи-
ческими объектами, не имеющими погрешностей
измерения.
Ужесточим требование к доказательству раци-
он ального корня 1/2 для любых рядов из натураль-
ных чисел, включая и простые числа, приняв усло-
вия ॡ ි ϹʆϺ и আ ි Ϻౢ.
Тогда уравнение (3) приводится к виду
ߜౢි ϹʆϺ−ϹʆϺ߅ߑߕ (࡮ߚ ʆϺౢ−߃ౢ). (4)
Далее идентифицируем уравнение (4) по дан-
ным таблицы 1 по всем рядам из схемы на рисунке
1 в программной среде CurveExpert -1.40 ( URL :
http ://www .curveexpert .net /).
12. Натуральные числа от 0 до 1024 . Для вер-
тикали iි ϸ была получена формула (рис. 2)
ߜ஺ි ϹʆϺ−ϹʆϺċėě (࡮޶ +ϸɪϸϸϼϻϸЀЀ ). (5)
Здесь полупериод колебания равен Ϻౢெ஺ි Ϲ.
Сдвиг волны очень малый, и поэтому в дальнейшем
им можно вполне пренебречь. Это означает, что
натуральные числа на нулевой вертикали распреде-
ляются с полупериодом 1 (периодом 2). Остальные
вертикал и двоичного разложения получают мень-
шую адекватность. Поэтому из девяти вертикалей
двоичного разложения 1024 натуральных чисел са-
мой точной по формуле (5) становится нулевая вер-
тикаль.
Аналогично проводим анализ и по другим
частным рядам из натуральных чис ел.

График закономерности (5) Остатки от модели (5)
Рис. 2. Графики изменения двоичного числа на нулевой вертикали таблицы 1

Остатки после формулы (5) одинаковые и
равны ±ϼɪϾϼϹϼЀ͎ −Ͼ. По остаткам на втором гра-
фике рисунка 2 видно, что они образуют практиче-
ски две горизонтальные линии.
На первой вертикали двоичного разложения
(рис. 3) получена формула
ߜ஻ි ϹʆϺ−ϹʆϺċėě (࡮޶ ʆϺ−ϸɪϿЀϽϹϼ ). (6)
График закономерности (6) Остатки от модели (6)
Рис. 3. Графики двоичного числа на первой вертикали разложения натуральных чисел

Остатки от формулы (6) равны ±ϸɪϹϼϾϻϽϾ .
Это от 1 составляет 14.64%. Поэтому для повыше-
ния точности моделирования можно дальше пр ово-
дить идентификацию следующей составляющей
статистической модели. Для выбора по минимуму
остатков подходит формула (5).
На второй вертикали двоичного разложения
(рис. 4) была получена формула

.(7)
Замечаем, что сдвиг волны нарастае т: при ߋි
ϸ от был близок к нулю, на первой вертикали дво-
ичного разложения ߋි Ϲ он стал равным 0.78514.
Это значение сдвига близко от значения 45 0, или к
࡮ʆϼි ϸɪϿЀϽϻЁϿ ɪ На второй вертикали сдвиг волны P ) 17725.1 4/ cos(2/1 2/1 2    N z  S = 0 .0 0 0 0 0 4 6 4
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .14 6 5 1 80 5
r = 0 . 9 5 61 4 5 14
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .18
-0 .12
-0 .06
0 .0 0
0 .0 6
0 .1 2
0 .1 8

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 103
колебательного возмущения двоичного веществен-
ного числа стал равным 1.17725. По этому значе-
нию также можно определить угол, на который по-
ворачивается начало волны возмущения.
График закономерности (7) Остатки от модели (7)
Рис. 4. Графики двоичного числа на второй вертикали разложения натуральных чисел

Как видно из графиков на рисунке 4, остатки
от формулы (7) образуют по две линии по сторонам
от оси абсцисс. При максимальное отклонение
равно ±ϸɪϻϸЁϿ или 30.97%. Можно сделать вывод,
что с увеличением р азряда двоичной системы счис-
ления остатки нарастают.
На третьей вертикали (рис. 5) после идентифи-
кации модели (4) получилась формула

.(8)
График закономерности (8) Остатки от модели (8)
Рис. 5. Графики двоичного числа на третьей вертикали разложения натуральных чисел

Из четырех линий остатков по двум сторонам
оси абсцисс максимальное значение равно ±ϸɪϼϸϹЁ
или 40.19%.
На четвертой вертикали (рис. 6) происходит
дальнейший рост сдв ига волны по выражению
.(9)

График закономерности (9) Остатки от модели (9)
Рис. 6. Графики двоичного числа на четвертой вертикали разложения натуральных чисел

Из восьми линий по сторонам оси абсцисс мак-
симальная абсолютная погрешность формулы (9)
получилось ±ϸɪϼϽϹϿ или относительная погреш-
ность – 45.17%.
На пятой вертикали (рис. 7) по формуле

(10)
остатки образовали красивые симметричные
фигуры. ) 37324.1 8/ cos(2/1 2/1 3    N z  ) 47124.1 16/ cos(2/1 2/1 4    N z  ) 52028.1 32/ cos(2/1 2/1 5    N z  S = 0 .2 2 0 2 2 5 8 9
r = 0 . 8 9 79 8 6 9 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .37
-0 .25
-0 .12
-0 .00
0 .1 2
0 .2 5
0 .3 7 S = 0 .2 3 4 0 8 0 14
r = 0 . 8 8 37 6 4 4 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .48
-0 .32
-0 .16
0 .0 0
0 .1 6
0 .3 2
0 .4 8 S = 0 .2 3 7 4 3 7 4 4
r = 0 . 8 8 01 7 8 19
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .54
-0 .36
-0 .18
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 6
0 .5 4

104 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (10) Остатки от модели (10)
Рис. 7. Графики двоичного числа на пятой вертикали разложения натуральных чисел

При этом остатки от формулы (10) изменяются
от почти нуля до 0.4831, что составляет 48.31% от
предельного значения двоичного числа 1.
На шестой вертикали (рис. 8) двоичного разло-
жения получено выражение
.(11)
График закономерности (11) Остатки от модели (11)
Рис. 8. Графики двоичного числа на шестой вертикали разложения натуральных чисел

Остатки после (11) образовали V-образные фи-
гуры с максимумом 0.4885. Заметно, что с ростом
разряда двоичной системы счисления остатки от
модели (4) приближа ются к 0.5.
На седьмой вертикали (рис. 9) была идентифи-
цирована модель (4) и получена формула
.(12)
График закономерности (12) Остатки от модели (12)
Рис. 9. Графики двоичного числа на седьмой вертикали разложения натуральных чисел

Максимальные остатки равны 0.4946 (49.46%).
На восьмой вертикали (рис. 10) получилось
выражение
(13)
График закономерности (13) Остатки от модели (13)
Рис. 10. Графики двоичного числа на восьмой вертикали разложения натуральных чисел
) 54477.1 64/ cos(2/1 2/1 6    N z  ) 55699.1 128/ cos(2/1 2/1 7    N z  ) 56313.1 256/ cos(2/1 2/1 8    N z  S = 0 .2 3 8 2 9 116
r = 0 . 8 7 92 5 5 7 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .57
-0 .38
-0 .19
-0 .00
0 .1 9
0 .3 8
0 .5 7 S = 0 .2 3 8 5 16 4 6
r = 0 . 8 7 90 1 15 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .59
-0 .39
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .3 9
0 .5 9 S = 0 .2 3 8 5 7 9 0 1
r = 0 . 8 7 89 4 3 7 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .59
-0 .40
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .4 0
0 .5 9 S = 0 .2 3 8 5 9 7 7 8
r = 0 . 8 7 89 2 3 4 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .60
-0 .40
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .4 0
0 .6 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 105
Остатки после формулы (13) с максимумом
0.4977 образовали всего четыре фигуры.
На последней девятой вертикали (рис. 11) по-
лучилась формула
(14)
График закономерности (14) Остатки от модели (14)
Рис. 11. Графики двоичного числа на девятой вертикали разложения натуральных чисел

Остатки в виде двух V-образных фигур имеют
максимальное значение 0.4992, что уже близко к
пределу 0.5. при этом сдвиг волны 1.56622 стре-
мится к ࡮ʆϺි ϹɪϽϿϸϿЁϽ . Этот факт означает, что с
ростом натурального числа при разложении его в
двоичной системе счисления происходит смена
функции кос инуса (на нулевой вертикали разложе-
ния) на функцию синуса (на ߏ ע с вертикали дво-
ичного разложения).
13. Нечетные натуральные числа . На нуле-
вой вертикали ряда 1, 3, 5, 7, …получаем ߜ=1.
На первой вертикали (рис. 12) получилось вы-
ражение
.(15)
Остатки после формулы (15) одинаковые и
равны ±ϺɪϹϸϼϸϺ͎ −Ͼ. Это почти в два раза меньше
остатков на первой вертикали двоичного разложе-
ния натуральных чисел. Сдвиг волны приближа-
ется к ࡮ʆϺ ි ϹɪϽϿϸϿЁϽ и это позволяет в формуле
(15) косинус заменить на синус.
График закономерности (15) Остатки от модели (15)
Рис. 12. Первая вертикаль разложения нечетных натуральных чисел

Вторая вертикаль (рис. 13) характеризуется
математическим выражением
.(17)
График закономерности (17) Остатки от модели (17)
Рис. 13. Вторая вертикаль разложения нечетных натуральных чисел

Остатки после формулы (17) одинаковые и
равны ±ϸɪϹϼϾϼ .
На третьей вертикали (рис. 14) получилась
формула
(18) ) 56622.1 512/ cos(2/1 2/1 9    N z  ) 56790.1 2/ cos(2/1 2/1 1 1    N z  ) 57082.1 4/ cos(2/1 2/1 1 2    N z  ) 57083.1 8/ cos(2/1 2/1 1 3    N z  S = 0 .2 3 8 6 0 4 0 4
r = 0 . 8 7 89 1 6 6 1
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .60
-0 .40
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .4 0
0 .6 0 S = 0 .0 0 0 0 0 2 11
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .14 6 5 8 9 8 3
r = 0 . 9 5 61 4 5 16
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .18
-0 .12
-0 .06
0 .0 0
0 .0 6
0 .1 2
0 .1 8

106 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (18) Остатки от модели (18)
Рис. 14. Третья вертикаль разложения нечетных натуральных чисел

Максимальные остатки после формулы (18)
равны ±ϸɪϻϸЀϿ .
На четвертой вертикали (рис. 15) с полуперио-
дом колебания 16 получена формула
.(19)
График закономерности (19) Остатки от модели (19)
Рис. 15. Четвертая вертикаль разложения нечетных натуральных чисел

Максимальные остатки после формулы (19)
равны ±ϸɪϼϸϺϽ .
На пятой вертикали (рис. 16) получилось выра-
жение
.(20)
График закономерности (20) Остатки от модели (20)
Рис. 16. Пятая вертикаль разложения нечетных натуральных чисел

Максимальные остатки после формулы (20)
равны ±ϸɪϼϽϹϸ .
Шестая вертикаль (рис. 17) определяется урав-
нением
.(21)
График закономерности (21) Остатки от модели (21)
Рис. 17. Шестая вертикаль разложения нечетных натуральных чисел ) 57082.1 16/ cos(2/1 2/1 1 4    N z  ) 57081.1 32/ cos(2/1 2/1 1 5    N z  ) 57081.1 64/ cos(2/1 2/1 1 6    N z  S = 0 .2 2 0 12 2 4 6
r = 0 . 8 9 80 8 8 5 1
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .37
-0 .25
-0 .12
-0 .00
0 .1 2
0 .2 5
0 .3 7 S = 0 .2 3 3 9 7 113
r = 0 . 8 8 40 0 0 9 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .48
-0 .32
-0 .16
0 .0 0
0 .1 6
0 .3 2
0 .4 8 S = 0 .2 3 7 2 5 12 4
r = 0 . 8 8 05 0 3 9 2
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .54
-0 .36
-0 .18
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 6
0 .5 4 S = 0 .2 3 8 0 6 0 7 8
r = 0 . 8 7 96 3 1 18
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .57
-0 .38
-0 .19
0 .0 0
0 .1 9
0 .3 8
0 .5 7

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 107
Максимальные остатки после формулы (21)
равны ±ϸɪϼϿϽϽ .
На седьмой вертикали двоичного разложения
нечетных натуральных чисел (рис. 18) была полу-
чена статистическая закономерность вида
.(22)
Максимальные остатки после формулы (22)
равны ±ϸɪϼЀϿϿ . Сдвиг волны остается постоянным
и равен 1.57081. Он близко приближается к ࡮ʆϺ ි
ϹɪϽϿϸϿЁϽ и это позволяет в формуле (22) и других
закономерностях функцию косинуса вполне заме-
нить на функцию синуса. Тогда особенностью не-
четных чисел становится расп ределение двоичного
числа по функции синуса.
График закономерности (22) Остатки от модели (22)
Рис. 18. Седьмая вертикаль разложения нечетных натуральных чисел

На восьмой вертикали (рис. 19) получилось
уравнение
.(23)
График закономерности (23) Остатки от модели (23)
Рис. 19. Восьмая вертикаль разложения нечетных натуральных чисел

Максимальные остатки после формулы (23)
равны ±ϸɪϼЁϻЁ .
Для девятой вертикали (рис. 20) при таком же
сдвиге получилось уравнение
(24)
График закономерности (24) Остатки от модели (24)
Рис. 20. Девятая в ертикаль разложения нечетных натуральных чисел

Максимальные остатки после формулы (214
равны ±ϸɪϼЁϾЁ . При этом оказалось, что все разло-
жения нечетных чисел в двоичной системе счисле-
ния подчиняются синусоиде.
14. Простые числа . Они относятся к нечетным
натуральным числам, поэтому на нулевой верти-
кали получаем ߜ=1. На первой вертикали вывялена
закономерность вида
.(25)
Остатки после формулы (25) одинаковые и
равны ±ϿɪϺЁЁϼϽ͎ −Ͼ. По сравнению с рядом не-
четных чисел остатки возросли почти в четыре
раза. ) 57081.1 128/ cos(2/1 2/1 1 7    N z  ) 57081.1 256/ cos(2/1 2/1 1 8    N z  ) 57081.1 512/ cos(2/1 2/1 1 9    N z  ) 56539.1 2/ cos(2/1 2/1 1    P z  S = 0 .2 3 8 2 6 2 5 2
r = 0 . 8 7 94 1 3 0 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .59
-0 .39
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .3 9
0 .5 9 S = 0 .2 3 8 3 12 9 2
r = 0 . 8 7 93 5 8 5 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .59
-0 .40
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .4 0
0 .5 9 S = 0 .2 3 8 3 2 5 5 2
r = 0 . 8 7 93 4 4 9 5
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.6 37 5.1 56 2.6 75 0.2 93 7.7 11 25.2 -0 .60
-0 .40
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .4 0
0 .6 0

108 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (25) Остатки от модели (25)
Рис. 21. Графики двоичного числа на первой вертикали разложения простых чисел

Сдвиг волны равен 1.56539 и примерно равно
࡮ʆϺ ි ϹɪϽϿϸϿЁϽ и это позволяет в формуле (25) и
последующих закономерностях функцию косинуса
заменить на функцию синуса.
На первом графике рисунка 21 (аналогично и
других) в правом верхнем углу даны: ޻ – дисперси я
остатков формулы (25) 0.00000732; ߔ – коэффици-
ент корреляции (вместо 1.00000000 достаточна за-
пись меры адекватности формулы (25) как 1.0000.
На второй вертикали (рис. 22) с почти таким
же сдвигом получена формула
.(26)
График закономерности (26) Остатки от модели (26)
Рис. 22. Графики двоичного числа на второй вертикали разложения простых чисел

Здесь остатки равны ±ϸɪϹϼϼϸϻϻ . Дисперсия
остатков равна 0.14685 и коэффи циент корреляции
уменьшился до 0.9561.
На третьей вертикали разложения простых чи-
сел (рис. 23) получена формула
.(27)
График закономерности (27) Остатки от модели (27)
Рис. 23. Графики двоичного числа на третьей вертикали разложения простых чисел

Здесь остатки от формулы (27) равны ±ϸɪϻϼЀϼ ,
что составляет относительно предела 1 34.84%.
Дисперсия остатков стала 0.21535 и коэффициент
корреляции уменьшился до 0.9029.
На четвертой вертикали (рис. 24) двоичное раз-
ложение определяется уравнением
.(28)
) 57765.1 4/ cos(2/1 2/1 2    P z  ) 59173.1 8/ cos(2/1 2/1 3    P z  ) 55614.1 16/ cos(2/1 2/1 4    P z  S = 0 .0 0 0 0 0 7 3 2
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .14 6 8 4 6 10
r = 0 . 9 5 61 3 8 0 5
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .18
-0 .12
-0 .06
0 .0 0
0 .0 6
0 .1 2
0 .1 8 S = 0 .2 15 3 5 4 3 9
r = 0 . 9 0 28 6 6 9 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .38
-0 .25
-0 .13
-0 .00
0 .1 3
0 .2 5
0 .3 8

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 109
График закономерности (28) Остатки от модели (28)
Рис. 24. Графики двоичного числа на четвертой вертикали разложения простых чисел

Для формулы (28) максимальные остатки
равны ±ϸɪϼϸЁϿ , что составляет относительно 1 до
40.97%. Дисперсия остатков равна 0.22911 и коэф-
фициент корреляции стал 0.8895.
Графики остатков на рисунке 24 стали хаотич-
нее, и при этом хаос в озрастает по мере роста раз-
ряда двоичной системы счисления.
На пятой вертикали (рис. 25) двоичное разло-
жение определяется выражением
.(29)
Для формулы (29) максимальные остатки уве-
личились до ±ϸɪϼϼϻϺ , что составляет относительно
еди ницы 44.32%. Дисперсия остатков на пятой вер-
тикали равна 0.23415 и коэффициент корреляции
стал 0.8843. в сравнении с предыдущим разрядом
адекватность снизилась мало.
График закономерности (29) Остатки от модели (29)
Рис. 25. Графики двоичного числа на пятой вертикали разложения простых чисел

На шестой вертикали (рис. 26) после иденти-
фикации модели (4) получено:
.(30)
График закономерности (30) Остатки от модели (30)
Рис. 26. Графики двоичного числа на шестой вертикали разложения простых чисел

Для формулы (30) максимальные остатки
стали равными ±ϸɪϼϿϸϸ , что составляет относи-
тельную погрешность 47.00%. Дисперсия остатков
равна 0.23834 и коэффициент корреляции стал рав-
ным 0.8797.
Графики остатков (рис. 26) стали упорядочен-
ными в виде V-образных распределений.
На седьмой вертикали (рис. 27) характерна
формула вида
.(31)
Для формулы (31) с полупериодом 128 макси-
мальные остатки стали равными ±ϸɪϼϿϺϾ с относи-
тельной погрешностью 47.26%. Дисперсия остат-
ков стала равной 0.24091 и коэффициент корреля-
ции стал равным 0.8768. Графики остатков стали
более упорядоченными. ) 55210.1 32/ cos(2/1 2/1 5    P z  ) 55977.1 64/ cos(2/1 2/1 6    P z  ) 54046.1 128/ cos(2/1 2/1 7    P z  S = 0 .2 2 9 11 116
r = 0 . 8 8 95 0 8 1 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .49
-0 .33
-0 .16
0 .0 0
0 .1 6
0 .3 3
0 .4 9 S = 0 .2 3 4 15 2 7 8
r = 0 . 8 8 42 7 1 16
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .55
-0 .37
-0 .18
-0 .00
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5 S = 0 .2 3 8 3 4 3 2 9
r = 0 . 8 7 96 6 7 9 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .58
-0 .38
-0 .19
0 .0 0
0 .1 9
0 .3 8
0 .5 8

110 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (31) Остатки от модели (31)
Рис. 27. Графики двоичного числа на седьмой вертикали разложения простых чисел

На восьмой вертикали (рис. 28) при полупери-
оде 256 получена формула
.(32)
График закономерности (32) Остатки от модели (32)
Рис. 28. Графики двоичного числа на восьмой вертикали разложения простых чисел

Максимальные остатки равны 0.4876 или
48.76%. Из графиков на рисунке 28 видно, что дис-
персия равна 0.24363 при коэффициенте корреля-
ции 0.8734.
На последней девятой вертикали (рис. 29) об-
разовалась закономерность вида
(33)
График закономерности (33) Остатки от модели (33)
Рис. 29. Графики двоичного числа на девятой вертикали разложения простых чисел

Максимальные остатки стали равными 0.4887
или 48.87%. Из графиков на рисунке 29 видно, что
дисперсия равна 0.24768 при коэффициенте корре-
ляции 0.8672.
15. Составные нечетные числа . На нулевой
вертикали получаем также ߜ=1.
На первой вертикали (рис. 30) имеем законо-
мерность вида
(34)
График закономерности (34) Остатки от модели (34)
Рис. 30. Графики дво ичного числа на первой вертикали разложения составных нечетных чисел ) 53429.1 256/ cos(2/1 2/1 8    P z  ) 51372.1 512/ cos(2/1 2/1 9    P z  ) 55539.1 2/) ( cos(2/1 2/1 1 1     P N z  S = 0 .2 4 0 9 0 7 3 6
r = 0 . 8 7 67 5 7 6 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .60
-0 .40
-0 .21
-0 .01
0 .1 8
0 .3 8
0 .5 8 S = 0 .2 4 3 6 3 2 2 7
r = 0 . 8 7 33 8 3 7 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .59
-0 .39
-0 .19
0 .0 1
0 .2 0
0 .4 0
0 .6 0 S = 0 .2 4 7 6 8 4 5 0
r = 0 . 8 6 71 6 6 9 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 7.3 37 4.4 56 1.5 74 8.7 93 5.8 11 23.0 -0 .62
-0 .42
-0 .21
0 .0 0
0 .2 1
0 .4 2
0 .6 2 S = 0 .0 0 0 0 0 7 3 1
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 111
Остатки после формулы (34) одинаковые и
равны ±ϿɪϺЁЁϼϾ͎ −Ͼ. Коэффициент корреляции
формулы (34) равен 1.0000.
На второй вертикали (рис. 31) модель (4) полу-
чает вид уравнения
(35)
График закономерности (35) Остатки от модели (35)
Рис. 31. Графики двоичного числа на второй вертикали разложения составных нечетных чисел

Остатки после формулы (35 ) примерно одина-
ковые и по максимуму равны ±ϸɪϹϼϿϿ . Коэффици-
ент корреляции формулы (35) будет равен 0.9561
при дисперсии остатков 0.14666.
Третья вертикаль по графикам на рисунке 32
определится формулой
.(36)
Остатки после формулы (36 ) заметно различа-
ются и по максимуму равны ±ϸɪϻϹϻϻ . Коэффици-
ент корреляции формулы (36) будет равен 0.8956
при дисперсии остатков 0.22269.
График закономерности (36) Остатки от модели (36)
Рис. 32. Графики двоичного числа на третьей вертикали разложения составных нечетных чисел

Четвертая вертикаль (рис. 33) характеризуется
математическим выражением

.(37)
График закономерности (37) Остатки от модели (37)
Рис. 33. Двоичные числа на четвертой вертикали разложения составных нечетных чисел

Остатки от формулы (37) сильно различаются
и по максимуму равны ±ϸɪϼϸϾϹ . Коэффициент кор-
реляции формулы (37) равен 0.8812 при дисперсии
остатко в 0.23667.
Пятая вертикаль нк рисунке 34 определяется
уравнением вида
(38) ) 56731.1 4/) ( cos(2/1 2/1 1 2     P N z  ) 56070.1 8/) ( cos(2/1 2/1 1 3     P N z  ) 57814.1 16/) ( cos(2/1 2/1 1 4     P N z  ) 57865.1 32/) ( cos(2/1 2/1 1 5     P N z  S = 0 .14 6 6 5 5 2 7
r = 0 . 9 5 61 4 3 3 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .18
-0 .12
-0 .06
0 .0 0
0 .0 6
0 .1 2
0 .1 8 S = 0 .2 2 2 6 9 2 4 7
r = 0 . 8 9 56 0 3 7 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .38
-0 .25
-0 .13
-0 .00
0 .1 3
0 .2 5
0 .3 8 S = 0 .2 3 6 6 7 115
r = 0 . 8 8 12 4 8 16
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .49
-0 .32
-0 .16
0 .0 0
0 .1 6
0 .3 2
0 .4 9

112 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (38) Остатки от модели (38)
Рис. 34. Графики двоичного числа на пятой вертикали разложения составных нечетных чисел
Остатки от (38)по максимуму равны ±ϸɪϼϽϼЁ .
Коэффициент корреляции равен 0.8786 при диспер-
сии остатков 0.23908.
Шестая вертикаль (рис. 35) образуется форму-
лой вида
(39)
График закономерности (39) Остатки от модели (39)
Рис. 35. Графики двоичного числа на шестой вертикали разложения составных нечетных чисел
Остатки (39) равны ±ϸɪϼϿϺϾ , коэффициент
корреляции 0.8795 при дисперсии 0.23824. при
этом статистические показатели идентификации
даже улучшились: дисперсия стала меньше, а коэф-
фициент корреляции – больше.
На седьмой вертикали (рис. 36) V-образные во-
семь графиков остатков получились после иденти-
фикации модели (4) формулой вида
(40)
График закономерности (40) Остатки от модели (40)
Рис. 36. Графики двоичного числа на седьмой вертикали разложения составных нечетных чисел Остатки после закономерности (40) равны
±ϸɪϼЁϽϽ , при этом коэффициент корреляции стал
равным 0.8808 при дисперсии остатков равном
0.23703. По сравнению с предыдущей вертикалью
также произошло улучшение статистических пока-
зателей идентификации.
Восьмая вертикаль (рис. 37) определилась вы-
ражением
(41)
График закономерности (41) = Остатки от модели (41) =
Рис. 37. Графики двоичного числа на восьмой вертикали разложения составных нечетных чисел ) 57651.1 64/) ( cos(2/1 2/1 1 6     P N z  ) 58634.1 128/) ( cos(2/1 2/1 1 7     P N z  ) 58942.1 256/) ( cos(2/1 2/1 1 8     P N z  S = 0 .2 3 9 0 8 4 8 2
r = 0 . 8 7 86 4 5 7 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .55
-0 .36
-0 .18
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 6
0 .5 5 S = 0 .2 3 8 2 3 7 4 9
r = 0 . 8 7 95 2 7 6 1
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .57
-0 .38
-0 .19
-0 .00
0 .1 9
0 .3 8
0 .5 7 S = 0 .2 3 7 0 3 13 7
r = 0 . 8 8 07 9 5 8 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .59
-0 .40
-0 .20
-0 .00
0 .2 0
0 .4 0
0 .5 9 S = 0 .2 3 5 5 9 3 2 0
r = 0 . 8 8 22 4 7 2 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .60
-0 .40
-0 .20
-0 .01
0 .1 9
0 .3 9
0 .5 9

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 113
Остатки после закономерности (41) равны
±ϸɪϼЁϸЁ , при этом коэффициент корреляции стал
равным 0.8822 при дисперсии остатков равном
0.23559.
На последней девятой вертикали (рис. 38) была
получена формула
(42)
График закономерности (42) Остатки от модели (42)
Рис. 38. Графики двоичного числа на девятой вертикали разложения составных нечетных чисел

Остатки после закономерности (42) равны
±ϸɪϽϹϺϹ , при этом коэффициент корреляции стал
равным 0.8847 при дисперсии остатков равном
0.23293.
16. Составные натуральные числа . Эти
числа включают как нечетные, так и честные числа.
Для вертикали iි ϸ была получена формула
(рис. 39)
.(43)
Здесь полупериод колебания равен Ϻౢெ஺ි Ϲ.
Сдвиг волны очень малый. Во многом расп ределе-
ние составных натуральных чисел схож с распреде-
лением самих натуральных чисел.
Остатки после формулы (43) одинаковые и
равны ±ϻɪϸϺЀϼЀ͎ −Ͼ. Дисперсия остатков от фор-
мулы (43) будет равна 0.00000301, а мера адекват-
ности (43) по коэффициенту корреляции р авен
1.0000. Двоичное разложение составных натураль-
ных чисел будет на втором месте после нечетных
чисел с дисперсией 0.00000211.
График закономерности (43) Остатки от модели (43)
Рис. 39. Графики двоичного числа на нулевой вертикали составных натуральных чисел

Для вертикали iි Ϲ была получена формула
(рис. 40) вида (44)
График закономерности (44) Остатки от модели (44)
Рис. 40. Графики двоичного числа на первой вертикали разложения составных чисел

Остатки после формулы (44) разные и по мак-
симуму равны ±ϸɪϹϾЀϹ . Дисперсия остатков от (44)
равна 0.14441, а коэффициент корреляции этой за-
кономерности равен 0.9574.
Для второй вер тикали (рис. 41) была иденти-
фицирована закономерность вида
.(45) ) 60117.1 512/) ( cos(2/1 2/1 1 9     P N z  ) 0034809.0 ) ( cos(2/1 2/1 0     P N z  ) 72583.0 2/) ( cos(2/1 2/1 1     P N z  ) 09213.1 4/) ( cos(2/1 2/1 2     P N z  S = 0 .2 3 2 9 2 8 6 6
r = 0 . 8 8 47 0 6 4 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 18 8.2 37 5.4 56 2.6 74 9.9 93 7.1 11 24.4 -0 .59
-0 .39
-0 .19
0 .0 1
0 .2 1
0 .4 1
0 .6 1 S = 0 .0 0 0 0 0 3 0 1
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .14 4 4 0 9 5 9
r = 0 . 9 5 74 3 3 3 5
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .20
-0 .13
-0 .07
0 .0 0
0 .0 7
0 .1 3
0 .2 0

114 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (45) Остатки от модели (45)
Рис. 41. Графики двоичного числа на второй вертикали разложения составных чисел
Остатки после формулы (45) разные и по мак-
симуму равны ±ϸɪϻϼЁϸ . Дисперсия остатков от (45)
равна 0.21689, а коэффициент корреляции этой за-
кономерности равен 0.9011.
Для третьей вертикали (рис. 42) была получена
тригонометрическая за кономерность
.(46)
График закономерности (46) Остатки от модели (46)
Рис. 42. Графики двоичного числа на третьей вертикали разложения составных чисел
Остатки после формулы (46) сильно различа-
ются и по максимуму равны ±ϸɪϻЀϹϾ . Дисперсия
остатков равна 0.23383, а коэффициент корреляции
этой закономерности равен 0.8849.
На четвертой вертикали (рис. 43) образовалась
формула
(47)
График закономерности (47) Остатки от модели (47)
Рис. 43. Графики двоичного числа на четвертой вертикали разложения составных чисел

Остатки после формулы (47) также различа-
ются и по максимуму равны ±ϸɪϼϼϻϹ . Дисперсия
остатков равна 0.23827, а коэффициент корреляции
этой закономерности равен 0.8793.
По пятой вертикали двоичного разложения
(рис. 44) получилась зависимость вида
(48)
График закономернос ти (48) Остатки от модели (48)
Рис. 44. Графики двоичного числа на пятой вертикали разложения составных чисел ) 33163.1 8/) ( cos(2/1 2/1 3     P N z  ) 45677.1 16/) ( cos(2/1 2/1 4     P N z  ) 51636.1 32/) ( cos(2/1 2/1 5     P N z  S = 0 .2 16 8 9 2 4 7
r = 0 . 9 0 113 7 8 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .42
-0 .28
-0 .14
-0 .00
0 .1 4
0 .2 8
0 .4 2 S = 0 .2 3 3 8 2 7 6 8
r = 0 . 8 8 40 4 2 4 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .51
-0 .34
-0 .17
-0 .00
0 .1 7
0 .3 4
0 .5 1 S = 0 .2 3 8 2 7 0 12
r = 0 . 8 7 93 0 2 8 1
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .55
-0 .37
-0 .18
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5 S = 0 .2 3 8 5 4 10 4
r = 0 . 8 7 90 1 0 7 1
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .57
-0 .38
-0 .19
-0 .00
0 .1 9
0 .3 8
0 .5 7

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 115
Остатки от (48) приобретают симметричность,
а по максимуму достигает ±ϸɪϼϿϺЀ . Дисперсия
остатков равна 0.23854, а коэффициент корреляции
этой закономерности равен 0.8790.
Шестая вертикаль (рис. 45) получает тригоно-
метрическую формулу вида
(49)
График закономерности (49) Остатки от модели (49)
Рис. 45. Графики двоичн ого числа на шестой вертикали разложения составных чисел

Остатки от (49) приобретают четкую симмет-
рию, и по максимуму достигает ±ϸɪϼЀЀϻ . Диспер-
сия остатков равна 0.23790, а коэффициент корре-
ляции этой закономерности равен 0.8797.
На седьмой вертикали (рис. 46) получается вы-
ражение вида
(50)
График закономерности (50) Остатки от модели (50)
Рис. 46. Графики двоичного числа на седьмой вертикали разложения составных чисел

Остатки от (50) приобретают также четкую
симметрию, максимум достигает ±ϸɪϼЁϾϾ . Диспер-
сия остатков равна 0.23735, а коэффициент корре-
ляции этой закономерности равен 0.8803. При этом
происходит некоторое повышение адекватности
модели (4).
Восьмая вертикаль (рис. 47) двоичного разло-
жения составных чисел получает формулу
(51)
График закономерности (51) Остатки от модели (51)
Рис. 47. Графики двоичного числа на восьмой вертикали разложения составных чисел

Остатки от (51) также имеют четкую симмет-
рию, максимум достигает ±ϸɪϽϸϸЁ . Дисперсия
остатков равна 0.23672, а коэффициент корреляции
этой закономерности равен 0.8809. При возраста-
нии остатков происходит не которое повышение
адекватности модели (4).
Девятая вертикаль (рис. 48) определяется зако-
номерностью вида
(52) ) 54507.1 64/) ( cos(2/1 2/1 6     P N z  ) 56393.1 128/) ( cos(2/1 2/1 7     P N z  ) 57265.1 256/) ( cos(2/1 2/1 8     P N z  ) 58092.1 512/) ( cos(2/1 2/1 9     P N z  S = 0 .2 3 7 8 9 7 8 6
r = 0 . 8 7 96 9 8 3 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .59
-0 .39
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .3 9
0 .5 9 S = 0 .2 3 7 3 5 0 6 4
r = 0 . 8 8 02 8 3 0 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .60
-0 .40
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .4 0
0 .6 0 S = 0 .2 3 6 7 17 2 9
r = 0 . 8 8 09 4 8 8 2
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .60
-0 .40
-0 .20
-0 .00
0 .2 0
0 .4 0
0 .6 0

116 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (52) Остатки от модели (52)
Рис. 48. Графики двоичного числа на девятой вертикали разложения составных чисел

Остатки от формулы (52) имеют две V-
образные фигуры максимум достигает ±ϸɪϽϸϽϹ .
Дисперсия остатков равна 0.23568, а коэффициент
корреляции этой закономерности равен 0.8820.
17. Четные натуральные числа . На нулевой
вертикали получаем условие ߜ=0.
На первой вертикали (рис. 49) была получена
формула
(53)
Остатки после формулы (53) одинаковые и
равны ±ϼɪϾϻϹϺϾ͎ −Ͼ.
График закономерности (53) Остатки от модели (53)
Рис. 49. Графики двоичного числа на первой вертикали разложения четных натуральных чисел

Сдвиг волны возмущения равен 0.0043041 ра-
диан, коэффициент корреляции – 1.0000.
На следующей второй вертикали (рис. 50) по-
лучена формула
.(54)
График закономерности (54) Остатки от модели (54)
Рис. 50. Графики двоичного числа на второй вертикали разложения четных натуральных чисел

Дисперсия остатков от формулы (54) равна
0.1466, а коэффициент корреляции 0.9561. при этом
сдвиг начала колебания равен 0.78480 и это значе-
ние близко к ࡮ʆϼ.
На третьей вертикали двоичного разложения
четных чисел (рис. 51) получили уравнение
.(55)
Здесь сдвиг волны стал больше ࡮ʆϼ, однако он
меньше ࡮ʆϺ. Расчеты показали, что угол сдвига со-
ставляет примерно 67.4 градуса. Это значение близ-
кое к пределу в 3 ࡮ʆЀි ϹɪϹϿЀϸЁϾ .
Дисперсия уравнения (55) равна 0.22033, адек-
ватность его равна по коэффициенту корреляции
0.8979. Таким образом, как и в других распределе-
ниях по вертикалям двоичного разложения, с воз-
растанием разряда двоичной системы счисления
погрешность модели (4) увеличивается. ) 0043041.0 2/ cos(2/1 2/1 0 1    N z  ) 78480.0 4/ cos(2/1 2/1 0 2    N z  ) 17638.1 8/ cos(2/1 2/1 0 3    N z  S = 0 .2 3 5 6 7 5 3 9
r = 0 . 8 8 20 0 1 8 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 18 8.0 37 5.6 56 3.2 75 0.8 93 8.4 11 26.0 -0 .61
-0 .40
-0 .20
-0 .00
0 .2 0
0 .4 0
0 .6 1 S = 0 .0 0 0 0 0 4 6 4
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .14 6 5 8 9 3 6
r = 0 . 9 5 61 4 5 11
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .18
-0 .12
-0 .06
0 .0 0
0 .0 6
0 .1 2
0 .1 8

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 117
График закономерности (5 5) Остатки от модели (55)
Рис. 51. Графики двоичного числа на третьей вертикали разложения четных натуральных чисел

На четвертой вертикали (рис. 52) получили вы-
ражение вида .(56)
График закономерности (56) Остатки от модели (56)
Рис. 52. Графики двоичного числа на четвертой вертикали разложения четных чисел

Максимальный остаток равен 0.4013. Диспер-
сия уравнения (56) равна 0.22442, адекватность его
равна по коэффициенту корреляции 0.8835.
На следующей пятой (рис. 53) вертикали полу-
чена закономерность вида
.(57)
График закономерности (57) Остатки от модели (57)
Рис. 53. Графики двоичного числа на пятой вертикали разложения четных натуральных чисел

Максимальный остаток стал равным 0.4496.
Дисперсия уравнения (57) равна 0.23785, адекват-
ность его равна по коэффициенту корреляции
0.8799.
На шестой вертикали распределения четных
чисел (рис. 54) получено выражение
.(58)
График закономерности (58) Остатки от модели (58)
Рис. 54. Графики двоичного числа на шестой вертикали разложения четных натуральных чисел
) 37204.1 16/ cos(2/1 2/1 0 4    N z  ) 46987.1 32/ cos(2/1 2/1 0 5    N z  ) 51879.1 64/ cos(2/1 2/1 0 6    N z  S = 0 .2 2 0 3 2 8 9 8
r = 0 . 8 9 78 8 5 4 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .37
-0 .25
-0 .12
0 .0 0
0 .1 2
0 .2 5
0 .3 7 S = 0 .2 3 4 4 16 2 8
r = 0 . 8 8 35 2 9 1 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .48
-0 .32
-0 .16
0 .0 0
0 .1 6
0 .3 2
0 .4 8 S = 0 .2 3 7 8 5 3 4 5
r = 0 . 8 7 98 5 4 0 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .54
-0 .36
-0 .18
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 6
0 .5 4 S = 0 .2 3 8 7 5 18 4
r = 0 . 8 7 88 8 2 1 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .57
-0 .38
-0 .19
0 .0 0
0 .1 9
0 .3 8
0 .5 7

118 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
Максимальный остаток стал равным 0.4740.
Дисперсия уравнения (58) равна 0.23875, адекват-
ность его равна по коэффициенту корреляции
0.8789.
На седьмой вертикали двоичного разложения
четных чисел (рис. 5) получили формулу
(59)
График закономерности (59) Остатки от модели (59)
Рис. 55. Графики двоичного числа на седьмой вертикали разложения четных натуральных чисел

Максимальный остаток достиг 0.4862. Диспер-
сия уравнения (59) стала равной 0.23900, а адекват-
ность его по коэффициенту корреляции равна
0.8786. при этом сдвиг колебания стал равным
1.54326, что гораздо ближе к пределу ࡮ʆϺ.
На предпоследней восьмой вертикали (рис. 56)
получено выражение вида
.(60)
Сдвиг волны постепенно приближается к пре-
делу ࡮ʆϺ. При этом максимальное значение остат-
ков стало равным 0.4923, дисперсия – 0.23908, а ко-
эффициент корреляции равен 0.8785.
График закономерности (60) Остатки от модели (60)
Рис. 56. Графики двоичного числа на восьмой вертикали разложения четных натуральных чисел

На последней девятой вертикали двоичного
разложения четных ч исел (рис. 57) стало: .(61)
График закономерности (61) Остатки от модели (61)
Рис. 57. Графики двоичного числа на девятой вертикали разложения четных натуральных чисел

Сдвиг волны также приближается к пределу
࡮ʆϺ. Максимальное значение остатков стало рав-
ным 0.4954, дисперсия – 0.23910, а коэффициент
корреляции равен 0.8785.
18. Сравнение рядов чисел по сдвигу волны
возмущения двоичного числа . Для сравнения па-
раметр сдви га колебания по всем предыдущим мо-
делям приведен в таблице 2. В ней значения пара-
метра ߃ౢ округлены до пятого значащей цифры по-
сле разделительной точки.
) 54326.1 128/ cos(2/1 2/1 0 7    N z  ) 55549.1 256/ cos(2/1 2/1 0 8    N z  ) 56161.1 512/ cos(2/1 2/1 0 9    N z  S = 0 .2 3 9 0 0 0 7 2
r = 0 . 8 7 86 1 2 0 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .59
-0 .39
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .3 9
0 .5 9 S = 0 .2 3 9 0 7 5 3 8
r = 0 . 8 7 85 3 0 9 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .59
-0 .40
-0 .20
-0 .00
0 .2 0
0 .4 0
0 .5 9 S = 0 .2 3 9 10 0 2 9
r = 0 . 8 7 85 0 3 9 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4
0 .0 0
0 .1 8
0 .3 7
0 .5 5
0 .7 3
0 .9 2
1 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 7.7 37 5.5 56 3.2 75 0.9 93 8.7 11 26.4 -0 .60
-0 .40
-0 .20
0 .0 0
0 .2 0
0 .4 0
0 .6 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 119
Таблица 2 . Сравнение разновидностей натуральных чисел
по сдвигу колебания в модели тренда ߜౢි ϹιϺ−ϹʆϺ߅ߑߕ (࡮ߚ ʆϺౢ−߃ౢ)
Раз-
ряд

Ряд
блоков
чисел

Про-
стые
числа
в
конце
блока
޸ౢ
Параметр ߃ сдвига волны возмущения двоичного числа
Натураль-
ные числа
Нечет-
ные
числа
Простые
числа
Состав-
ные не-
четные
числа
Составные
натуральные
числа
Четные
числа
0 1 1 0.00043088 ߜ=1 ߜ=1 ߜ=1 0.0034089 ߜ=0
1 2 2 0.78514 1.56790 1.56539 1.56539 0.72583 0.0043041
2 4 3 1.17725 1.57082 1.57765 1.56731 1.09213 0.78480
3 8 7 1.37324 1.57083 1.59173 1.56070 1.33163 1.17638
4 16 13 1.47124 1.57082 1.55614 1.57814 1.45677 1.37204
5 32 31 1.52028 1.57081 1.55521 1.57865 1.51636 1.46987
6 64 61 1.54477 1.57081 1.55977 1.57651 1.54507 1.51879
7 128 127 1.55699 1.57081 1.54046 1.58634 1.56393 1.54326
8 256 251 1.56313 1.57081 1.53429 1.58942 1.57265 1.55549
9 512 509 1.56622 1.57081 1.51372 1.60117 1.58092 1.56161
10 1024 1021

С числа 1024 начинается 10 -ая вертикаль дво-
ичного разложения натуральных и иных чисел. Да-
лее как влияющую переменную рассмотрим разряд
ߋ двоичной системы счисления. Тогда получим
шесть уравнений влияния разряда на сдвиг колеба-
ния.
Натуральные числа получают (рис. 58) три-
гонометрическую закономерность в виде модифи-
цированного нами закона Релея достижения неко-
торого предела
߃ි ϹɪϽϾЁϺϿ −ϹɪϽϾЀЀϼ čĠĘ (−ϸɪϾЁϻϽϺ ߋ஺ɪ௃௃௃ு஺ ).(62)
График закономерности (62) Остатки от модели (62)
Рис. 58. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду натуральных чисел

Формула (62) в пределе при ߋע с стремится к
значению ߃ע ࡮ʆϺ. Тогда из уравнения (4) получим
формулу в окончательном виде ߜ஺ි ϹʆϺ−Ϲʆ
ϺěđĖ (࡮޶ ) при условии ߋע с. Таким образом, в
начале ряда натуральных чисел примерно до 1024
происходит сдвиг колебания двоичного числа от 0
до почти до ࡮ʆϺ.
Нечетные натуральные числа (рис. 59) пока-
зали уравнение вида
߃ිϹɪϽϿϸЀϹ −ϸɪϸϺϽϿϸϺ čĠĘ (−ϺɪϹϾЀЁϿ ߋ஻ɪா஼஻ீு ).(63)
График закономерности (63) Остатки от модели (63)
Рис. 59. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду начетных чисел

Нечетные натуральные числа достигают пре-
дела ߃ע ࡮ʆϺ гораздо быстрее, так как уже на нуле-
вом двоичном разряде фактически по данным таб-
лицы 2 получают ߜ=1.
Простые числа (рис. 60) из ряда натуральных
чисел от 0 до 1024 дали формулу
߃ි ϹɪϼϾϻϼϼ čĠĘ (−ϸɪϸϸϹϼϼϺϾ ߋ஻ɪ஻ா஼஺஼ )−
−ϸɪϹϺЀϺϺ ߋ஺ɪா஼ூாா čĠĘ (−ϸɪϹЁϾϻϻ ߋ஺ɪூ௃ா௃ீ ).(64) i i2 S = 0 .0 0 0 0 18 14
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9
0 .0 0
0 .2 9
0 .5 7
0 .8 6
1 .1 5
1 .4 4
1 .7 2 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 4 4 7 5
r = 0 . 9 9 93 3 7 0 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8
1 .5 7
1 .5 7
1 .5 7
1 .5 7
1 .5 7
1 .5 7
1 .5 7 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

120 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (64) Остатки от модели (64)
Рис. 60. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду простых чисел

Из графиков на рисунке 60 видно, что по
двухчленному тренду сдвиг колебания двоичного
числа изменяется сложным образом: вначале до
разряда ߋි ϻ сдвиг возрастает, а после постепенно
снижается. При этом первый член уравнения
тренда (64) является законом эксп оненциальной ги-
бели (модифицированный нами закон Лапласа в ма-
тематике, Мандельброта в физике, Перла в биоло-
гии и Парето в эконометрике), а вторая составляю-
щая – биотехническим законом проф. П.М.
Мазуркина. Из остатков видно, что можно иденти-
фицировать трет ью составляющую к модели (64) в
виде асимметричного конечномерного вейвлета.
При условии ߋע с второй член формулы (6)
получает неопределенность, поэтому необходимы
дополнительные статистические исследования.
Составные нечетные числа (рис. 61) по раз-
рядам двоичной системы счисления дали:
߃ි ϹɪϽϾϾϸϺ čĠĘ (−ϸɪϸϸϺϸЁϽϿ ߋ஻ɪ஺஺ிீு )+
ϸɪϸϸϺϻϹϻϿ ߋ஻ɪி஺஻ாூ . (65)
График закономерности (65) Остатки от модели (65)
Рис. 61. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду составных нечетных чисел

Из -за исключения из ряда нечетных чисел всех
простых чисел произошло усложнение распределе-
ния сдвига колебания двоичного числа в зависимо-
сти от разряда двоичной системы счисления. В фор-
муле (65) изменился знак перед в торой составляю-
щей, которая по конструкции упростилась от
биотехнического закона до закона показательного
роста.
Составные натуральные числа (рис. 62) дали
снова модифицированный закон Релея
߃ි ϹɪϽЀЁϸϿ −ϹɪϽЀϼϼϻ čĠĘ (−ϸɪϽЁϾϼϸ ߋ஻ɪ஺஺ீி஼ ).(66)
График закономерности (66) Остатки от модели (66)
Рис. 62. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду составных чисел

Снова в пределе при ߋע с стремится к значе-
нию ߃ע ࡮ʆϺ.
Четные натуральные числа (рис. 63) также
показали закономерность вида
߃ි ϹɪϽϾϿϽЀ −ϻɪϹϹϹЀϿ čĠĘ (−ϸɪϾЀЀϼϻ ߋ஻ɪ஺஺஽ிா ).(67) S = 0 .0 17 1 2 44 4
r = 0 . 9 2 99 5 4 7 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8
1 .5 1
1 .5 2
1 .5 4
1 .5 5
1 .5 7
1 .5 8
1 .6 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8 -0 .02
-0 .01
-0 .01
-0 .00
0 .0 1
0 .0 1
0 .0 2 S = 0 .0 0 5 9 2 5 9 7
r = 0 . 9 4 49 4 2 5 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8
1 .5 6
1 .5 6
1 .5 7
1 .5 8
1 .5 9
1 .6 0
1 .6 1 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8 -0 .01
-0 .01
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 1
0 .0 1 S = 0 .0 10 1 6 03 9
r = 0 . 9 9 98 6 9 4 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9
0 .0 0
0 .2 9
0 .5 8
0 .8 7
1 .1 6
1 .4 5
1 .7 4 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9 -0 .02
-0 .02
-0 .01
-0 .00
0 .0 0
0 .0 1
0 .0 1

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 121
График закономерности (67) Остатки от модели (67)
Рис. 63. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду четных чисел

Анализ статистических моделей влияния раз-
ряда двоичной системы счисления на сдвиг колеба-
ния двоичного числа показал, что наиболее слож-
ную конструкцию тренда получили простые числа,
а затем расположились составные н ечетные числа.
Натуральные числа, составные натуральные числа,
составные нечетные числа и четные числа полу-
чили простую конструкцию модифицированного
закона Релея.
19. Сравнение рядов чисел по коэффици-
енту корреляции модели (4) . Данные для анализа
приведен ы в таблице 3. Здесь же отмечено полу-
жирным выделением, что при нулевом разряде си-
стемы двоичного счисления наименьшую погреш-
ность имеют распределения натуральных чисел и
составных натуральных чисел. Это и есть критиче-
ская линия Римана.
А для рядов нечетн ых чисел, простых чисел и
четных чисел критическая линия Римана находится
в первом разряде двоичной системы счисления при
условии ߋි Ϲ.

Таблица 3 . Сравнение разновидностей натуральных чисел
по коэффициенту корреляции модели ߜౢි ϹιϺ−ϹʆϺ߅ߑߕ (࡮ߚ ʆϺౢ−߃ౢ)
Раз-
ряд

Ряд
блоков
чисел

Простые
числа
в конце
блока ޸ౢ
Коэффициент корреляции ߔ модели
Нату-
ральные
числа
Нечет-
ные
числа
Простые
числа
Состав-
ные не-
четные
числа
Составные
натураль-
ные числа
Четные
числа
0 1 1 1.0000 1 1 1 1.0000 1
1 2 2 0.9561 1.0000 1.0000 1.0000 0.9574 1.0000
2 4 3 0.8980 0.9561 0.9561 0.9561 0.9011 0.9561
3 8 7 0.8838 0.8981 0.9029 0.8956 0.8840 0.8979
4 16 13 0.8802 0.8840 0.8895 0.8812 0.8793 0.8835
5 32 31 0.8793 0.8805 0.8843 0.8786 0.8790 0.8799
6 64 61 0.8790 0.8796 0.8797 0.8795 0.8797 0.8789
7 128 127 0.8789 0.8794 0.8768 0.8808 0.8803 0.8786
8 256 251 0.8789 0.8794 0.8734 0.8822 0.8809 0.8785
9 512 509 0.8789 0.8793 0.8672 0.8847 0.8820 0.8785
10 1024 1021

Из данных таблицы 3 также видно, что по мере
возрастания разряда ߋ коэффициент корреляции мо-
дели (4) снижается. Найдем эти закономерности.
Натуральные числа получают (рис. 64) три-
гонометрическую закономерность вида
ߔි ϸɪϹϺϸϾϼ čĠĘ (−ϸɪϼϽЀϹЀ ߋ஻ɪ௃௃ி஺௃ )+ϸɪЀϿЁϼϿ .(68)
График закономерности (68) Остатки от модели (68)
Рис. 64. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду натуральных чисел
i i2 S = 0 .0 0 0 10 3 5 2
r = 0 . 9 9 99 9 9 9 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8
0 .0 0
0 .2 9
0 .5 7
0 .8 6
1 .1 5
1 .4 3
1 .7 2 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 11 5 50 3
r = 0 . 9 9 97 4 9 7 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9
0 .8 7
0 .8 9
0 .9 2
0 .9 4
0 .9 6
0 .9 9
1 .0 1 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

122 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
По модифицированному нами закону Релея с
положительным знаком получается, что по фор-
муле (68) при условии ߋි ϸ имеем ߔි Ϲ, а при
условии ߋע с в пределе ߔි ϸɪЀϿЁϽ . Таким обра-
зом, вне зависимости от мощности ряда пол учаем
постоянную адекватность модели (4).
Нечетные натуральные числа (рис. 65) пока-
зали уравнение
ߔිϸɪϹϺϹЁϸ čĠĘ (−ϸɪϸϼϸϿϻϻ ߋ஽ɪி஻஺ு஽ )+ϸɪЀЀϸϺϽ .(69)
График закономерности (69) Остатки от модели (69)
Рис. 65. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду начетных чисел

Активность экспоненциального спада в фор-
муле (69) 0.040733 меньше этого же параметра в
уравнении (68) в 0.45818 / 0.040733 = 11.25 раз. При
этом интенсивность гибели 3.51073 / 1.99509 в 1.76
раза больше.
Простые числа (рис. 66) из ряда натуральных
чисел о т 0 до 1024 дали формулу
ߔි ϸɪϹϸϸϾϹ čĠĘ (−ϸɪϸϻϽϺϿϿ ߋ஽ɪூ஽௃ீு )+
ϸɪЁϸϺϸϺ ߇ߚߒ (−ϸɪϸϸϺϾЁϸϾ ߋ஻ɪ஼஻஼௃ூ ). (70)
Здесь получилась закономерность, состоящая
из двух законов экспоненциального спада. При
этом оба члена уравнения (70) в пределе снижаются
до суммы 0.10061 + 0 .90202 = 1.00263.
График закономерности (70) Остатки от модели (70)
Рис. 66. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду простых чисел

Действителен ли предел ߔ(ߋע с)ි ϹɪϸϸϺϾϻ
(коэффициент корреляции не должен быть больше
1) или же при бесконечной мощности ряда простых
чисел будет коэффициент корреляции равным еди-
нице. Для ответа нужны дополнительные статисти-
ческие исследования.
Составные нечетные числа (рис. 67) по раз-
рядам д воичной системы счисления дали:
ߔි ϸɪϹϻϸϾϾ čĠĘ (−ϸɪϸϼϼϺϽЀ ߋ஽ɪாிிாு )+
ϸɪЀϾЁЁϾ ߇ߚߒ (ϸɪϸϸϼϿЁϿϹ ߋ஺ɪி஻௃ூ஼ ). (71)
График закономерности (71) Остатки от модели (71)
Рис. 67. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду составных нечетных чисел

Вторая составляющая формулы (71) стала за-
коном экспоненциального роста проф. П.М. Мазур-
кина и показывает противоборство в ряду нечетных
составных чисел. В итоге можем сделать вывод о
том, что составные нечет ные числа могут обладать
какими -тог удивительным свойствами. Удивитель-
ность четных натуральных чисел состоит в том, что
они являются приращениями в ряду простых чисел.
Составные натуральные числа (рис. 68) дали
такое же математическое выражение S = 0 .0 0 2 0 5 2 6 3
r = 0 . 9 9 94 6 4 7 2
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9
0 .8 7
0 .8 9
0 .9 2
0 .9 4
0 .9 6
0 .9 9
1 .0 1 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 2 4 18 9 3
r = 0 . 9 9 95 2 3 3 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9
0 .8 5
0 .8 8
0 .9 1
0 .9 3
0 .9 6
0 .9 9
1 .0 1 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 16 1 53 2
r = 0 . 9 9 97 7 6 9 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9
0 .8 7
0 .8 9
0 .9 2
0 .9 4
0 .9 6
0 .9 9
1 .0 1 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 123
ߔි ϸɪϹϺϺϻϼ čĠĘ (−ϸɪϼϻЀϺϼ ߋ஻ɪ௃஻ி஼ு )+
ϸɪЀϿϿϿϿ ߇ߚߒ (ϸɪϸϸϸϼϸϼϿϹ ߋ஻ɪ஺ி஻஺ா ). (72)
График закономерности (72) Остатки от модели (72)
Рис. 68. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду составных чисел

Тогда получается, что простые числа преобра-
зуют составные натуральные числа и, в частном
случае, также и составные нечетные числа.
Четные натуральные числа (рис. 69) пока-
зали закономерность вида
ߔි ϸɪϹϹϹϿЀϺ čߚߒ (−ϸɪϸϻϾЁϾϸ ߋ஽ɪீீ஺஻ீ )+
ϸɪЀЀϼϺЁ ߇ߚߒ (−ϸɪϸϸϸϽЀЀϾϽ ߋ஻ɪ஻ா஽ுி ). (73)
Эта закономерность схода с рядом простых чи-
сел, поэтому можем заключить что простые числа
органично связаны с четными числами через при-
ращения простых чисел.
График закономерности (73) Остатки от модели (73)
Рис. 69. Влияние разряда на сдвиг колебания двоичного числа в ряду четных чисел

Полный статистический анализ разных видов
по схеме на рисунке 1 распределений натуральных
чисел от 0 до 1024 показал, что они по гипотезе Ри-
мана одинаковы. Однако рациональный корень 1/2
находится у натуральных и составных натуральных
чисел на первом разря де двоичной системы счисле-
ния, а у остальных распределений (нечетные и про-
стые числа, составные нечетные и четные натураль-
ные числа) рациональный корень 1/2 располагается
на первом разряде при ߋි Ϲ двоичной системы
счисления.
20. Выбор вертикали двоичного разложения
для разных рядов чисел . Выберем из всех преды-
дущих вывяленных закономерностей, которые
наиболее точно располагаются на критической ли-
нии Римана:
– при условии ߋි ϸ на нулевой вертикали по-
лучаем модели двоичного числа
ߜ஺ි ϹʆϺ−ϹʆϺċėě (࡮޶ +ϸɪϸϸϼϻ ϸЀЀ ); (74)

;(75)
– а при условии ߋි Ϲ на первой вертикали
имеем модели двоичного числа
;(76)
;(77)
;(78)
.(79)
С возрастанием мощности рядов разных видов
чисел получаем предельные выражения:
; (80)
; (81)
; (82)
; (83)
;(84)
. (85)
Во всех этих формулах первый член является
рациональным корнем 1/2 гипотезы Римана. Крити-
ческой линией Римана для натуральных чисел и со-
ставных натуральных чисел является нулевая вер-
тикаль двоичного разложения. Для остальных ря-
дов (нечетных чисел, простых чисел, составных
нечет ных и целых натуральных чисел) критичной
линией становится первая вертикаль двоичного
разложения десятичных чисел.
22. Заключение . Разновидности натуральных
чисел N= {ϸɧϹɧϺɧϻɧɫ} следующие:
P – простые натуральные числа 0, 1, 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, …; ) 0034809.0 ) ( cos(2/1 2/1 0     P N z  ) 56790.1 2/ cos(2/1 2/1 1 1    N z  ) 56539.1 2/ cos(2/1 2/1 1    P z  ) 55539.1 2/) ( cos(2/1 2/1 1 1     P N z  ) 0043041.0 2/ cos(2/1 2/1 0 1    N z  ) cos(2/1 2/1 0 N z    )) ( cos(2/1 2/1 0 P N z     )2/ sin(2/1 2/1 1 1 N z    )2/ sin(2/1 2/1 1 P z    )2/) ( sin(2/1 2/1 1 1 P N z     )2/ cos(2/1 2/1 0 1 N z    S = 0 .0 0 11 2 19 8
r = 0 . 9 9 98 4 1 19
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9
0 .8 7
0 .8 9
0 .9 2
0 .9 4
0 .9 6
0 .9 9
1 .0 1 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 2 17 5 9 1
r = 0 . 9 9 96 0 3 9 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9
0 .8 7
0 .8 9
0 .9 1
0 .9 4
0 .9 6
0 .9 9
1 .0 1 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 1.7 3.3 5.0 6.6 8.3 9.9 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

124 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
N-P – составные натуральные числа 4, 6, 8, 9,
10, 12, 14, 15, 16, …;
N0 – четные натуральные числа 0, 2, 4, 6, 8, 10,
12, 14, 16, …;
N1 – нечетные натуральные числа 1, 3, 5, 7, 9,
11, 13, 15, 17, …;
N1-P – составные нечетные натуральные числа
9, 15, 21, 25, ….
Цифра 0 в любом ряду из соответствия
PNZQR находится в особом «нулевом» деся-
тичном разряде ߋ஻஺ ි ϸ, содержащем одно простое
число. Первый десятичный разряд содержит по
пять простых и составных чисел, и эта группа 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 из деся ти натуральных чисел
является симметричным: вначале отрезка ряда рас-
положены простые числа, а с конца к началу – со-
ставные числа.
Для этих шести рядов вывялены предельные
выражения двоичного вещественного числа, полу-
чаемые после разложения рядов с десятич ной си-
стемы счисления в двоичной системе счисления:
;
;
;
;
;
.
Ключевым моментом при анализе рядов чисел
является переход от десятичной системы счисления
к двоичной системе счисления, что и позволило нам
доказать гипотезу Римана о действительном корне
1/2. Тогда двоичная система счисления будет
началом полного ряда пр остых чисел в виде P 2ි
{ϸɨϹ}, а Гауссов ряд простых чисел PGි
{ϺɧϻɧϽɧϿɧϹϹ ɧϹϻ ɧϹϿ ɧɫ} его продолжением. В итоге
получаем P = P 2 + P G. Продолжение P G вполне
можно свернуть в системе двоичного счисления P 2.
причем любой ряд P NZQR также можно за-
писать в двоичных кодах.
Знаменитая гипотеза Римана о действительном
корне 1/2 доказана для любых разновидностей
натуральных чисел.
В пределе при повышении мощности рядов из
действительного корня вычитается простая синусо-
ида (для рядов нечетных, простых и нечетны х со-
ставных чисел) и функция косинуса (для рядов
натуральных, составных и целых чисел), постоян-
ная амплитуда которых также равна 1/2, а постоян-
ным полупериодом тригонометрической функции
являются два числа: 1 – для рядов натуральных и
составных натуральных чисел; 2 – для рядов нечет-
ных натуральных, простых, составных нечетных и
четных чисел. При этом под функциями синуса и
косинуса разновидности рядов из натуральных чи-
сел расположены на критических линиях Римана:
а) на нулевой вертикали двоичного разложе-
ни я рядов натуральных и составных чисел ࡮;
б) на первой вертикали двоичного разложения
рядов нечетных, простых, составных нечетных и
целых натуральных чисел значение ࡮ʆϺ.
В рядах чисел соблюдается представление о
природе «чистых колебаний» синусоидальной
формы, появившуюся ещё у Тейлора. При этом
нами рассматривалось множество колебаний по
вертикалям в двоичных разложениях рядов чисел.
В общем случае остатки после вышеуказанных
уравнений позволяют идентифицировать дополни-
тельные колебания. В итоге двоичное представле-
ние даже на критичной линии Римана является про-
извольным колебанием, которое может быть пред-
ставлено как «наложение» или сумма нескольких
чистых колебаний (принцип суперпозиции). Тогда
получается, что простые и иные ряды чисел подчи-
няются закону Бернулли с решением уравнения ко-
лебания в виде суммы тригонометрического ряда
и Бернулли утверждал (исходя из физических сооб-
ражений), что таким рядом можно представить про-
извольную функцию. Это предположение Бер-
нулли мы подтвердили в данной статье матема ти-
чески. Доказано нами, что ряды чисел от 0 до 1024
включают сумму тригонометрического ряда из 9
простых колебаний. С возрастанием мощности
ряда количество простых волн будет возрастать. В
общем случае ранее нами было доказано, что лю-
бой отрезок рядов чисе л возможно идентифициро-
вать набором из асимметричных вейвлетов с пере-
менными амплитудой и полупериодом колебания.
Литература
[1] А .В. Баяндин. К распределению простых
чисел на множестве натуральных целых чисел. Но-
восибирск: Наука, 19999. URL : bajandin.pdf. ISBN
5-02 -031549 -4.
[2] Б. Н. Делоне. Работы Гаусса по теории чи-
сел. С.878 -976 // К.Ф. Гаусс. Труды по теории чи-
сел. М.: Изд -во АН СССР, 1959. 979 с.
[3] В.И. Зенкин. Распределение простых чисел,
Элементарные методы. Калининград: 2008. 158 с.
[4] А.А. Карацуба. Чисел теория. 13 с. URL :
http ://bse .sci -lib .com /article 122511. html .
[5] А.Н. Колмогоров. Математика в ее истори-
q_kdhfjZa\blbbFGZmdZk
[6] В.Н. Лаптев, А.Э. Сергеев, Э.А. Сергеев.
Теоремы П.Л. Чебышёва о распределении простых
чисел и некоторые проблемы, связанные с ними.
Научный журнал КубГАУ, №113(09), 2015. URL :
http ://ej.kubagro .ru/2015/09/ pdf /09. pdf .
[7] П.М. Мазуркин. Закономерности простых
qbk_e Germany : Palmarium Academic Publishing,
2012. 280 с. ISBN: 978 -3-8473 -9218 -7
[8]. П.М. Мазуркин. Закономерности целых
простых чисел. Влияние шкалы целых чисел на по-
ложительные и отрицательные ряды простых чи-
сел. Германия: Palmarium Academic Publishing ,
2015. 162 с. ISBN 978 -3-659 -60018 -0.
[9] Спор о струне. Материал Википедии – сво-
бодной энциклопедии. URL:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0
%BE%D1%80_%D0%BE_%D1%81%D1%82%D1%
80%D1%83%D0%BD%D0%B5 . ) cos(2/1 2/1 0 N z    )) ( cos(2/1 2/1 0 P N z     )2/ sin(2/1 2/1 1 1 N z    )2/ sin(2/1 2/1 1 P z    )2/) ( sin(2/1 2/1 1 1 P N z     )2/ cos(2/1 2/1 0 1 N z   

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 125
[10] П.Л. Чебышев. Теория чисел. URL:
http://ru -wiki.org/wiki.
[11] В.Н. Чубариков. Простые числа, дзэта -
функция Римана и тригонометрические суммы. М.:
FZl_fZlbq_kdbcbgklblmlbf<:Kl_deh\ZJ:G
k TrigSumSteklov 11. docs 1.pdf .
[12] И.Г. Шарафее в. Интегральные тождества
^ey ^walZ -функции Римана / Дипломная работа на
dZn_^j_ ©L_hjbb nmgdpbc b ijb[eb`_gbcª DZ
aZgv DZaZgkdbc Ib\he`kdbc  ]hkm^Zjkl\_gguc
mgb\_jkbl_lBg -т математики и механики, 2015. 23
с. Sharafeev.pdf.
[13] P.M. Mazurkin, “Wavele t Analysis of a Num-
ber of Prime Numbers.” American Journal of Numeri-
cal Analysis , vol. 2, no. 2 (2014): 29 -34. doi:
10.12691/ajna -2-2-1.
[14] P.M. Mazurkin, “Series Primes in Binary.”
American Journal of Applied Mathematics and Statis-
tics , vol. 2, no. 2 (2 014): 60 -65. doi: 10.12691/ajams -
2-2-2.
[15] P.M. Mazurkin, “Proof the Riemann Hypoth-
esis.” American Journal of Applied Mathematics and
Statistics , vol. 2, no. 1 (2014): 53 -59. doi:
10.12691/ajams -2-2-1.
[16] P.M. Mazurkin. Riemann’s Hypothesis and
Critical Line of Prime Numbers, Advances in Sciences
and Humanities. Vol. 1, No. 1, 2015, pp. 13-29.
doi: 10.11648/j.ash.20150101.12.
[17] P.M. Mazurkin. (2015). Integer prime num-
ber . European Journal of Engineering and Technology,
3 (1) , 31 -44.
[18] P.M. Mazurkin. Statistical modeling of en-
tire prime numbers / International Journal of Engineer-
ing and Technical Research (IJETR) ISSN: 2321 -
0869, Volume -2, Issue -8, August 2014. Р.148 -158.
[19] P.M. Mazurkin, “Block Structure of a Num-
ber of the Integers Prime.” Applied Mathematics and
Physics , vol. 2, no. 4 (2014): 135 -145. doi:
10.12691/amp -2-4-3.
[20] P.M. Mazurkin, “Chaos and Order in the In-
tegers Primes.” Applied Mathematics and Physics , vol.
2, no. 4 (2014): 146 -156. doi: 10.12691/amp -2-4-4.
[21] P.M. Mazurkin, “Stable Laws and the Num-
ber of Ordinary.” Applied Mathematics and Physics ,
vol. 2, no. 2 (2014): 27 -32. doi: 10.12691/amp -2-2-1.
[22] P.M. Mazurkin, “Increment Primes.” Ameri-
can Journa l of Applied Mathematics and Statistics , vol.
2, no. 2 (2014): 66 -72. doi: 10.12691/ajams -2-2-3.
[23] Mazurkin P.M. The Invariants of the Hilbert
Transformation for Wavelet Analysis of Tabular Data.
American Journal of Data Mining and Knowledge
Discovery in Vol. 1, Issue Number 1, December 2016.
Here offered the link: http://www.sciencepublishing-
group.com/journal/paperinfo?jour-
nalid=603& doi=10.11648/j.ajdmkd.20160101.14
[24] P.M. Mazurkin. Wavelet Analysis Statistical
Data. Advances in Sciences and Humanities . Vol. 1,
No. 2, 2015, pp. 30 -44. doi:
10.11648/j.ash.20150102.11.
[25] P.M. Mazurkin. Method of Identification of
Wave Regularities According to Statistical Data (Of
Dynamics of a Rate of Inflation of US Dollar). Ad-
vances in Sciences and Humanitie . Vol. 1, No. 2, 2015,
pp. 45 -51. doi: 10.11648/j.ash.20150102.12.
[26] P.M. Mazurkin. Invariants of the Hilbert
Transform for 23 -Hilbert Problem, Advances in Sci-
ences and Humanities. Vol. 1, No. 1, 2015, pp. 1-12.
doi: 10.11648/j.ash.20150101.11.
[27] Prime numbers. URL:
https://oeis.org/wiki/Prime_numbers (Дата обраще-
ния 29.11.2017).
[28] D. Zagier “The first 50 million prime num-
bers.” URL: http://www.ega -
math.narod.ru/Liv/Zagier.htm .