Американский Научный Журнал МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАЧ И ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ НА ПРЕДПРИЯТИИ (65-71)

В статье рассматривается один из аспектов решения проблемы совершенствования управления. Эффективное управление базируется на оптимальном использовании ресурсов и грамотной комплексной оценке организации. Современный рынок ИТ предлагает ПО, способное автоматизировать деятельность любого предприятия путем полного или частичного устранения человеческого фактора. Однако в компаниях, где эффективность работы характеризуется использованием человеческих ресурсов, всё не так просто. Исследование авторов посвящено моделированию процесса распределения задач и трудовых ресурсов математическими методами и комбинаторной оптимизации процесса распределения задач между сотрудниками в рамках компании. Скачать в формате PDF
American Scientific Journal № ( 42 ) / 2020 65

УДК 004.421
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАЧ И
ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ НА ПРЕДПРИЯТИИ

Еремина Ирина Ильинична, Лысанов Денис Михайлович
Набережночелнинский институт (филиал) ФГАОУ ВО «Казанский федеральный университет»,
Адрес: 423812, Республика Татарстан, г.Набережные Челны, проспект Мира д. 68/1 9 (1/18), 335
(приёмная директора)
Tel .: +7 927 249 76 93

Abstract . В статье рассматривается один из аспектов решения проблемы совершенствования
управления. Эффективное управление базируется на оптимальном использовании ресурсов и грамотной
комплексной оц енке организац ии. Современный рынок ИТ предлагает ПО, способное автоматизировать
деятельность любого предприятия путем полного или частичного устранения человеческого фактора.
Однако в компаниях, где эффективность работы характеризуется использованием чело веческих ресур сов,
всё не так просто. Исследование авторов посвящено моделированию процесса распределения задач и
трудовых ресурсов математическими методами и комбинаторной оптимизации процесса распределения
задач между сотрудниками в рамках компании.
Key words: распределение задач, автоматизация управленческой деятельности, математическое
моделирование, задача оптимизации, метод ветвей и границ.

INTRODUCTION
Одной из наиболее важных проблем,
возникающих в различных сферах человеческой
деятельности, явля ется проблема
совершенствования управления. Эффективное
управление базируется на оптимальном
использовании ресурсов и грамотной комплексной
оценке организации.
Развитие информационных технологий
вызвало появление множества программных
прод уктов, призванны х автоматизировать
деятельность любого предприятия путем полного
или частичного устранения человеческого фактора.
И если на автоматизированном производстве
производительность оборудования вычислима, то в
компаниях, где эффективность работы
характеризуется использованием человеческих
ресурсов, всё не так просто. Если проанализировать
вопрос о том, при каком условии можно достигнуть
максимальной производительности труда, то
очевидно, что это возможно только при правильном
распределении внутрен них задач в соот ветствии с
возможностями персонала. К особенностям, не
позволяющим качественно распределять задачи
между сотрудниками в существующих
программных продуктах, относится сложность
адаптации их к специфике предметной области [1].
METHODS AND MOD ELS
Необходимост ь автоматизации процесса
распределения задач обусловлена большим
количеством структурных подразделений
компаний и отсутствием подходящего
программного обеспечения. Процесс
автоматизированного распределения задач для
пользователя состоит из следующих этапов :
вносятся данные нормативно -справочной
информации; вносятся данные для мониторинга
работы сотрудников; устанавливается норма
рабочего времени на определенные календарные
периоды времени; рассчитываются ограничения по
рабочей нагрузке; попо лняется перечень задач на
поручение; после внесения необходимой
информации, пользователь, используя функционал
системы, получает список задач на выполнение,
сформированный автоматически; корректируется
результат автоматического распределения для
получения более эффективно го варианта
использования трудовых ресурсов.
В связи с тем, что необходимые для
обеспечения эффективного распределения
характеристики трудовых ресурсов, такие как дата
начала задачи, дата окончания задачи, приоритет
задачи, дата внедрения, отпуск исполнит еля, имеют
пределы, то при формировании перечня поручений
важно учитывать накладываемые на них
ограничения.
К данным ограничения относятся:
Дата начала задачи должна быть больше или
равна дате наиболее раннего начала
���(��)≥ ����� (��)
Дата окончания задачи должна быть меньше
либо равна крайней дате внедрения
���(��)≤ ����� (��)
Дата начала следующей задачи должна быть
больше либо равна дате окончания задачи
���(��+1)≥ ���(��)
Дата начала задачи не должна быть в период
отпуска ���(��)∉[���(�(��)); ���(�(��))]
Дата окончания задачи не должна быть в
период отпуска ���(��)∉[���(�(��)); ���(�(��))]
Дата начала задачи должна быть равна дате
окончания задачи предшестве нника
���(��)= ���(����� (�))
Если приоритет задачи выше приоритета
следующей, то дата окончания задачи должна быть
меньше даты окончания следующей задачи. Если
�(��)> �(��+1), то ���(��)< ���(��+1)
К показателям, позволяющим оценить
эффективность полученного решения, относятся
[2]:
средняя загруженность исполнителей (задачи
должны равномерно распределяться между
ресурсами);

66 American Scientific Journal № ( 42 ) / 2020
индекс сбалансированности загрузки
исполнителей (должен стремиться к минимуму);
сроки проекта (крайняя дата о кончания задач
должна стремиться к минимуму).
RESULTS AND DISCUSSION
Допустимым списком распределенных задач
можно считать список, в котором соблюдаются все
ограничения, о писанные в выше. Эффективным
распределением считается такое распределение, в
котором значения указанных показателей являются
сбалансированными.
На основании полученных и
проанализированных данных было выполнено
составление математической модели процесса
распределения задач и трудовых ресурсов,
являющегося одной из фундаментальных задач
ком бинаторной оптимизации, в общем виде.
При распределении задач и трудовых ресурсов
используются следующие множества [3]:
Множество исполнителей
�= {���� �,где �∈[1;��]}, где �� - количество
исполнителей.
Множество актуальных задач
� = {���� �,где �∈[1;��]}, где �� - количество
задач.
Множество завершенных задач
���� = {���� �,где �∈[1;����� ]}, где ����� -
кол ичество кураторов.
Множество кураторов ��� = {��� �,где � ∈
[1;���� ]}, где ���� - количество кураторов.
Множество отпусков �= {��� ℎ,где ℎ∈
[1;��]}, где �� - количество отпусков.
Используются следующие матрицы:
Матри ца назначений ��×�, где ���= 1, если
утвержден факт � исполнителя на � задачу, иначе
���= 0.
Матрица ответственных ���� �×��� , где
���� �� = 1, если � сотрудник назначен куратором
� исполнителя, иначе ���� �� = 0.
Матрица критериев эффективности
исполнителя ��� �×���� , где ��� �� – это
действител ьные показатели характеристик
сотрудников на основе завершенных задач .
Матрица занятости сотрудников ��� �×�, где
�� �ℎ – это действительные показатели рабочего
графика сотрудников на основе активных задач .
Задача автоматизированного распределения
задач и трудовых ресурсов состоит в
использовании семейства методов ветвей и графов,
основанных на разбиении множества допустимых
решений на подмноже ства, то есть ветвлении, и
оценивании целевой функции на этих
подмножествах (вычислении границ). Для удобст ва
и однозначности восприятия критерии
эффективности нормируют с учетом следующих
правил:
Средняя загруженность должна стремиться к
���� (зада чи должны равномерно распределяться
между ресурсами).
�= ∑ �� ���=1
�� → ����
Индекс сбалансированност и загрузки
исполнителей . Индекс сбалансированности
должен стремиться к минимуму.
σ= √∑ (��−�)2 ���=1
��−1 → ���
Крайняя дата окончания задач должна
стремиться к минимуму.
max (���(��))→ ���
Математическая модель данной задачи
описывается следующей формулой:
∑ ∑ �(�,�)(∑ ∑ ∑ ���ℎ��
��

����



)→ ���

�=1

�=1

При следующих ограничениях:
∑ ���ℎ��

�=1
= 1 для �∈� (1) ∑ ���ℎ��

�=1
= 1 для �∈� (2)
∑ ���ℎ��


= �� �ℎ,где �= 1,…,�,ℎ= 1,…,� (3)
∑ �(�,�)(∑ ���ℎ��
����


�=1
)= ��� ��,где �= 1,…,�,�= 1,…,���� (4)
∑ �(�,�)(∑ ���ℎ��
��


�=1
)≤ ���� ��,где �= 1,…,�,� = 1,…,��� (5)

Стоимостная функция �(�,�) определяет
стоимость выполнения � исполнителем � задачи.

�(�,�)= �1∑�+(1−�1)∗(�2∑���+(1−�2)∑������ ), где:

�1 и �2 – нормализующие множители;
∑� – сумма вычислительных стоимостей
вершин критического пути;
������ – коммуникационная стоимость связей
между вершиной критического пути и всеми его
смежными вершинами, не входящими в
критический путь.
Переменная ��� представляет назначение
исполнителя � на работу �, равняется 1, если
утвержден факт назначения, в противном случае 0.

American Scientific Journal № ( 42 ) / 2020 67

���ℎ� ≥ 0 для �,� ∈�,�
Ограничени е (1) обозначает, что каждому
исполнителю назначена в точности одна задача.
Ограничение (2) обозначает, что для каждой задачи
назначен один исполнитель. Ограничение (3)
обозначает, что при составлении перечня задач
следует учитывать только сотрудников, чей отпуск
и сроки выполнения текущей задачи не
пересекаются с датами выполнени я назначаемой
задачи. Ограничение (4) обозначает, что при
распределении задач требуется учитывать
критерии эффективности сотрудников.
Ограничение (5) обозначает, что при
распределе нии поручений требуется учитывать
однозначное назначение кураторов каждому
исполнителю.
SUMMARY
Таким образом, в исследовании определены и
рассчитаны универсальные критерии оценки
эффективности деятельности сотрудников любого
предприятия вне зависимости от внутренней
организации и специфики предметной области.
Изучены существующие алгоритмы решения задач
комбинаторной оптимизации в области
математической оптимизации или исследовании
операций.
Алгоритм распределения задач основан на
математической модели си стемы [4]. Для этой
модели можно сформулировать алгоритм в виде
следующей по следовательности шагов:
получить список задач на распределение;
получить множество исполнителей -
кандидатов;
сформировать матрицу назначений;
определить оптимальное решение.
При реа лизации данного алгоритма
средствами ИТ список распределения задач и
трудовых ресурсов на предприятии формируется
ответственным пользователем и может
корректироваться в режиме реального времени.
При этом в обязательном порядке задача создается
с ука занием приоритетов упорядочивания
исполнителем своих задач по приоритету,
представленному в таблице 1:
Таблица 1.
Порядок приоритета задачи
Порядок
приоритета Описание
Высокий Задачу необходимо распределить в первую очередь с установлением времени начала
её вы полнения сразу после окончания распределения.
Средний
Задачу следует выполнить после задач с приоритетом «Высокий», но по
возможности исполнителем, не имеющим актуальных задач в момент
распределения.
Низкий Задача распределяется в последнюю очередь, важн ейшим фактором является дата
внедрения, не выходящая за установленные временные рамки.

Множество исполнителей -кандидатов
представляет собой список всех сотрудник ов
компании, независимо от их принадлежности
подразделениям, роду решаемых задач и занятости ,
поскольку распределяются все трудовые ресурсы
компании с равномерной нагрузкой в зависимости
от рабочих графиков.
При вычислении критериев эффективности
сотрудник ов алгоритм изначально задает три
уровня эффективности по всем показателям,
представленные в таблице 2:
Таблица 2.
Уровни эффективности сотрудника
Уровень
эффективности Описание
База (1) Исходная точка, от которой отсчитывается результат. Худшее значение.
Уровень
эффективности Описание
Норма (2) Уровень, который в обязательном порядке должен быть достигнут с учетом
всех обстоятельств.
Цель (3) Уровень, к которому нужно стремиться, своего рода идеальный показател ь.

Оцениваются три ключевых критерия:
количество, качество, сроки выполнения работы
[5]. Для каждого из показателей устанавливае тся
вес в процентном эквиваленте: количество – 35%,
качество – 40%, сроки – 25%. Оценка по критериям
вы считывается как произведение уровня
эффективности на вес показателя, переведенное в
проценты [6]. Дополнительными нормализующими
значениями являются обла сти специализации
сотрудников ( 0< �1<5) и их сертификаты,
подтверждающие квалификацию ( 0< �2<10 ).
Для составления матрицы назначений и
определения оптимального решения используется
алгоритм целочисленного программирования, а
именно метод «ветвей и г раниц» [7].
Наименованиями полей назначаются
уникальные идентификаторы исполнителей,
наименованиями запи сей – уникальные
идентификаторы задач. Матрица

68 American Scientific Journal № ( 42 ) / 2020
инициализируется стоимостными значениями
задач.
В каждой строке матрицы назначений
находится минимальный элемент и вычитается из
каждого элемента строки. Тем самым в матрице
появится не менее одного элемента, равного нулю.
В каждом столбце матрицы назначений
находится минимальный элемент и при условии
отсутствия в столбце нуля вычитается из элементов
столбца .
Выбирается пара претендентов (исполнитель -
задача) на ветвление, для которых значение ячейки
равно нулю. Рассчитывается коэффициент путем
сложения минимального значения элемента строки
задачи и минимального значения столбца –
исполнителя. Из всех коэффи циентов выбирается
максимальный, тем самым определено
оптимальное решение и задача текущей стро ки
назначается исполнителю текущего поля.
Так как каждому исполнителю назначается
только одна работа, то удаляем исполнителя и
задачу из матрицы.
Описание алгори тма произведено с помощью
блок -схем. Использование элементов блок -схем
регламентируется ГОСТ 19 .701 -90 «Единая
система программной документации. Схемы
алгоритмов, программ, данных и систем.»

Рисунок 1 – Основная блок -схема алг оритма распределения задач

American Scientific Journal № ( 42 ) / 2020 69

Рисунок 2 – Блок -схема процесса «Составить матрицу назначений сотрудников»

70 American Scientific Journal № ( 42 ) / 2020
Рисунок 3 – Блок -схема процесса «Определить оптимальное решение»

CONCLUSIONS
На основании изучен ных подходов к
управлению организациями, разновид ностей
структур управления и типов производственных
структур предприятия, сформирована
математическая модель оптимизации процесса
распределения задач и трудовых ресурсов на
предприятии и алгоритм ее реализац ии средствами
ИТ [8].
Определены и рассчитаны уни версальные
критерии оценки эффективности деятельности
сотрудников любого предприятия вне зависимости
от внутренней организации и специфики
предметной области.
Составлен алгоритм автоматизированного
распредел ения поручений на примере тестовых
данных. По рез ультатам тестирования удалось
определить рекомендуемую аппаратную и
программную часть средств запуска используемой
платформы, выполнены корректировки и
доработки прикладного решения, касающиеся
логики програ ммы.

Bibliography
Ишмурадова И., Карамышев А., Лысанов Д.,
Исавнин А., Еремина И. Перспективы применения
проектного бюджетирования в коммерческих
организациях. // Труды - Международная

American Scientific Journal № ( 42 ) / 2020 71

конференция по разработкам в области разработки
электронных систем, De SE. Том: октябрь -20 19.
Страницы: 370 – 373 [ I. Ishmuradova , A.
Karamyshev , D. Lysanov , A. Isavnin , I. Eremina . The
prospects of application of design budgeting in the
commercial organizations.//Works - the International
conference on developments in the fi eld of
development of electronic systems, DeSE. Tom:
October -2019. Pages: 370 – 373]
Исполнительская дисциплина как ключевой
показатель эффективности – [Электронный
источник]. URL:
https://www.sekretariat.ru/article/211183 -
ispolnitelskaya -distsiplina -pokazatel -effektivnosti -17 -
m12 [Performing discipline as a key performance
indicator – [An electronic source]. URL:
https://www.sekretariat.ru/article/211183 -
ispolnitelskaya -distsiplina -pokazatel -effektivnosti -17 -
m12 ]
Ишмурадова И., Карамышев А., Лысанов Д.,
Исавнин А., Еремина И. Р азработка
математической модели функционирования
системы социального такси // Труды -
Международная конференция по разработкам в
области разработки электронных систем, DeSE.
Том: октябрь -2019. Страницы: 773 – 777 [ I.
Ishmuradova , A. Karamyshev , D. Lysanov , A. Isavni n,
I. Eremina . Development of mathematical model of
functioning of a system of the social taxi//Works - the
International conference on developments in the field
of development of electronic systems, DeSE. Tom:
October -2019. Pages: 773 – 777]
Мет рики эффек тивности распределения
человеческих ресурсов – [Электронный источник].
URL:
http://miit.ru/content Метрики %20 эффективности %2
0распределен ия%20 человеческих %20 ресурсов .pdf
?id_wm=764755 [Metrics of efficiency of distribution
of human resources – [An electronic source]. URL:
http://miit.ru/content Метрики %20 эффективности %2
0распределения %20 человеческих %20 ресурсов .pdf
?id_wm=764755 ]
Ишмурадова И., Карамышев А., Лысанов Д.,
Исавнин А., Еремина И. Метод оценки
экономического потенциала промышленного
предприятия. // Труды - Международная
конференция по разработкам в области разработки
электронных систем, DeSE. Том: октябрь -2019.
Страницы : 284 – 289 [ I. Ishmuradova , A.
Karamyshev , D. Lysanov , A. Isavnin , I. Eremina .
Method of assessment of economic capacity of the
industrial enterprise.//Works - the International
conference on developments in the field of
development of electronic systems, DeSE. Tom:
October -2019. Pages: 284 – 289]
Клюев И.П., Приходько В.А., Трофименко
И.В. Распределение задач между сотрудниками,
ориентирован ными на процедуры или новые
возможности, как инструмент развития
организации // Технико -экономический вестник
«Русск ого Алюминия». 2012. №22. [I.P. Klyuev,
V.A. Prikhodko, I.V. Trofimenko. Distribution of tasks
between the employees focused on procedures o r new
opportunities as the instrument of development of the
organization//the Technical and economic bulletin of
Russian aluminum. 2012. No. 22.]
Постановка заданий сотрудникам разного
уровня – [Электронный источник ]. URL:
https://marketing.wikireading.ru/39830 [Statement of
tasks to employees of diff erent level – [An electronic
source]. URL : https://marketing.wikireading.ru/39830 ]
Ишмурадова И., Ка рамышев А., Лысанов Д.,
Исавнин А., Еремина И. Особенности разработки
программного обеспечения предст авления задач
модуля по существующим программным пакетам и
их обновлениям в корпоративных
информационных системах организации
производства. // Труды - Межд ународная
конференция по разработкам в области разработки
электронных систем, DeSE. Том: октябрь -2019 .
Страницы: 180 – 183 [ I. Ishmuradova , A.
Karamyshev , D. Lysanov , A. Isavnin , I. Eremina .
Features of development of the software of
representation of task s of the module of the existing
software packages and their updates in corporate
information systems of the organization of
production.//Works - the International conference on
developments i n the field of development of electronic
systems, DeSE. Tom : Octo ber -2019. Pages : 180 – 183]