Американский Научный Журнал МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПО А.Н.ТИХОНОВУ В ЗАДАЧЕ ВЫДЕЛЕНИЯ ЛИНИИ ФОНА ПРИ ОБРАБОТКЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

American Scientific Journal № ( 30) / 2019 31

ФИЗИКА И АСТРОН ОМИЯ

МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПО А.Н.ТИХОНОВУ В ЗА ДАЧЕ ВЫДЕЛЕНИЯ ЛИНИИ ФОНА ПРИ
ОБРАБОТКЕ ЭКСПЕРИМЕН ТАЛЬНЫХ ДАННЫ Х.

Деянов Р.З.
факультет ВМК
МГУ имени М.В.Ломоносова,
Россия, г.Москва

Задача выделения линии фона возникает при
первичной обработке данных фи зического
эксперимента, когда из полученных значений
требуется выделить фоновую составляющую. В
первую очередь, это связано с обработкой
дифракционных спектров в нейтронографии, оже -
спектроскопии, газовой электронографии,
вольтамперометрии, и др.
Факторы, порождающ ие линию фона, носят,
как правило, случайный характер и, главное, не
всегда известно какие именно физические факторы
участвуют в формировании линии фона. Поэтому,
основным вопросом выделения линии фона
является выбор функций, которыми ее
моделирую т. Как правило, основными свойствами
таких функций является их плавность, или, с
математической точки - гладкость и
ограниченность функции кривизны. Функция
кривизны задается выражением:

⥒(⥜(⥟))= 〶ⷳ″(ⷶ)〶
(ⵀⵉ(ⷳ′(ⷶ))⸹)⸺␋⸹.

Из физическ их соображе ний линия фона,
обозначим ее как ⤯ (background ), ищется такой,
чтобы минимизировалась выбранная норма для
функции кривизны. Отметим очевидное
соотношение ✬⥒(⥜)✬≤ ✬⥜㏾✬ (для любой нормы).
Таким образом, если мы будем минимизировать
норму ✬⥜㏾✬ на некотором специально заданном
множестве функций, то добьемся и уменьшения
нормы ✬⥒(⥜)✬.

Формализуем нашу задачу. Рассмотрим пространство функций интегрируемых с квадратом на [⥈⏬⥉]
с метрикой ⧴ⷙ⸹(⥜⏬⥝)= {⟷ (⥜(⥟)−⥝(⥟))ⵁ⥋⥟ ⷠ
⷟ }ⵀ␋ⵁ (далее просто ⧴(⥜⏬⥝)). Это метрическое пространство
⥂ⵁ[⥈⏬⥉]. Для ⥜⏬⥝⟛⥂ⵁ[⥈⏬⥉]⠂ (⥜⏬⥝)= ⟷ ⥜⥝⥋⥟ ⏬ ✬⥜✬ⷙ⸹ⵁ = (⥜⏬⥜) ⷠ
⷟ (далее, под будем понимать ).
На множестве ⤱= {⥜⟛⤰ⵃ[⥈⏬⥉]⏭ ⥜(⥈)= ⥜㏼(⥈)= ⥜(⥉)= ⥜㏼(⥉)= ╽} рассмотрим линейные операторы
дифференцирования ⤹ⵀ⥜= ⷢⷳ
ⷢⷶ ⏬⤹ⵁ⥜= ⷢ⸹ⷳ
ⷢⷶ⸹.

Пусть нам известно ⧧> ╽ такое, что для
данной экспериментальной функции
⥜⸖(⥟)⟛⤰[⥈⏬⥉] вы пол няется ⧴(⥜⸖⏬⤯)≤ ⧧. Пусть
также известно число ⤿> ╽такое, что выполняется
✬⤹ⵁ⤯✬≤ ⤿. Как показала практика, значения ⧧⏬⤿
не сложно найти по экспериментальным данным.
Введем множество
⤱⸖⏬ⷖ= {⥜⟛⤰ⵃ[⥈⏬⥉]⏭⧴(⥜⸖⏬⥜)≤ ⧧⏬✬⤹ⵁ⥜✬≤ ⤿}. Не
ограничивая общности, можно считать ⤱⸖⏬ⷖ⡎ ⤱
(что можно добиться линейной заменой
переменных).
Поставим задачу выделения линии фона как
поиск элемента множества ⤱⸖⏬ⷖ с минимальным
значением квадрата нормы второй производной,
т.е.

✬⤹ⵁ⥜✬ⵁ❧ ⥔⥐⥕ ⏬ ⥜⟛⤱⸖⏬ⷖ. (1)

Решение задачи существует, единственно ([1],
с. 133 –139) и сводится к поиску регуляризованного
реш ения по А.Н.Тихонову. При этом, априорная
информация о значениях ⧧⏬⤿ позволяет обойтись
без решения задачи определения параметра
регуляризации ⧤. Согласно детерминированному
методу регуляризации [2, c.136] решение (1)
ищется как минимум квадратичного фу нкционала
на множестве ⤱⸖⏬ⷖ:

⥔⥐⥕ ⧡[⥜]= ✬⥜−⥜⸖✬ⵁ+⸖⸹
ⷖ⸹✬⤹ⵁ⥜✬ⵁ ⏬ ⥜⟛⤱⸖⏬ⷖ. (2)

Пусть ⥜⸓ (⧤= ⧧ⵁ␋⤿ⵁ) решение (2), тогда оно с необходимостью удовлетворяет тождеству Эйлера:

(⥜⸓−⥜⸖⏬⥝)+⧤(⤹ⵁ⥜⸓⏬⤹ⵁ⥝)⠫ ╽ ⏬ ⟕ ⥝⟛⤱⸖⏬ⷖ. 2U

32 American Scientific Journal № ( 30) / 20 19
Учитывая для множества ⤱ самосопряженность оператора ⤹ⵁ= ⤹ⵁ⟦, получаем уравнение Эйлера:

⧤⥜⸓(ⵃ)+⥜⸓= ⥜⸖ ⏬ ⥜⸓(⥈)= ⥜⸓′(⥈)= ⥜⸓(⥉)= ⥜⸓′(⥉)= ╽. (3)

Решение (3) существует и единственно для
любой непрерывной функции ⥜⸖ ([3], с.117).
Буд ем рассматривать варианты A)- Г) решения
задач (2),(3):
A) проводится дискретизация (2) на
неравномерной сетке,
Б) проводится дискретизация (2) на
равномерной сетке,
В) проводится дискретизация (3) на
равномерной сетке,
Г) решение (3) находится для любой точки
[⥈⏬⥉].

Вариант А. Проводится дискретизация исходного функционала (2) с неравномерной сеткой по
аргументу ⥟⏮ ⥟ⴿ⏬⥟ⵀ⏬⏯⏯⏯⏬⥟ⷬ(⥟ⴿ= ⥈⏬⥟ⷬ= ⥉), ⥜⸖⏬ⷧ= ⥜⸖(⥟ⷧ) и искомыми значениями ⥜ⷧ= ⥜(⥟ⷧ). Функционал
(2) переходит в ква дратичную форму от переменных ⥜ⴿ⏬⥜ⵀ⏬⏯⏯⏯⏬⥜ⷬ:

⧟(⥜⏔)= ◎ ℎⷧ(⥜ⷧ−⥜⸖⏬ⷧ)ⵁ+⧤◎ ℎⷧ((⥜ⷧⵊⵀ−╿⥜ⷧ+⥜ⷧⵉⵀ)␋ℎⷧⵁ)ⵁ ⷬⵊⵀⷧⵋⵀ ❧ ⥔⥐⥕ ⷬⷧⵋⴿ .

Минимум (единственный) данный квадр атичной формы оп ределяется как р ешение СЛАУ: ⤮⥜⏔= ⥍㐧,
где ⥜⏔= (⥜ⴿ⏬⥜ⵀ⏬⏯⏯⏯⏬⥜ⷬ)ⷘ⏬⥍= (⥏ⴿ⥜⸖⏬ⴿ⏬⥏ⵀ⥜⸖⏬ⵀ⏬⏯⏯⏯⏬⥏ⷬ⥜⸖⏬ⷬ)ⷘ, ⤮ -симметричная положительно -определенная
матрица. Приведем ее верхний треугольный вид:

⤮
=
⣔
⣓⣓⣓
⣒
ℎⴿ+⧤ℎⵀⵊⵂ −╿⧤ℎⵀⵊⵂ ⧤ℎⵀⵊⵂ ╽ ⏯⏯⏯ ╽
⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯
ℎⷨ+⧤(ℎⷨⵊⵀⵊⵂ+▁ℎⷨⵊⵂ+ℎⷨⵉⵀⵊⵂ) −╿⧤(ℎⷨⵊⵂ+ⷨⵉⵀⵊⵂ) ⧤ℎⷨⵉⵀⵊⵂ ╽
⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯
ℎⷬⵊⵀ+⧤(ℎⷬⵊⵁⵊⵂ +▁ℎⷬⵊⵀⵊⵂ) −╿⧤ℎⷬⵊⵀⵊⵂ
ℎⷬ+⧤ℎⷬⵊⵀⵊⵂ⣗
⣖⣖⣖
⣕
⏯

Для решения СЛАУ ⤮⥜⏔= ⥍ применяли метод монотонной прогонки ([4], с.98), который требует всего
▅⥕−▂ операций сложения и вычитания, ▅⥕−▂ операций умножения и ▀⥕ операций деления.
Достаточные условия корректности (устойчивости) данного метода прог онки для матрицы ⤮ выражаются
как ⧤≤ ⥔⥐⥕ {ⵀ
ⵁℎⴿℎⵀⵂ⏬ⵀ
ⵂℎⵀℎⵁⵂ⏬ⵀ
ⵁℎⷬℎⷬⵊⵀⵂ ⏬ⵀ
ⵂℎⷬⵊⵀℎⷬⵊⵁⵂ ⏬ⵀ
ⵁ⧵ⷫⷧⷬ {}},
где ⧵ ⥔⥐⥕ⵁⷃⷧⷃⷬⵊⵁ
ℎ⻟ ℎ⻟⹂⸸⹂⸺ⵉℎ⻟⹁⸸⹂⸺ⷫⷧⷬ ([4], с.100).
Вариант Б. Проводится ди скретизация ис ходного функционала (2) с равномерной сеткой по
аргументу ⥟: ⥟ⷧ= ⥟ⴿ+⥐⥏⏬⥐= ╽⏬⏯⏯⏯⏬⥕. В этом случае функционал (2) также переходит в квадратичную
форму от переменных ⥜ⴿ⏬⥜ⵀ⏬⏯⏯⏯⏬⥜ⷬ :

⧟(⥜⏔)= ⿘ (⥜ⷧ−⥜⸖⏬ⷧ)ⵁ+⧤ℎⵊⵂ⿘ (⥜ⷧⵊⵀ−╿⥜ⷧ+⥜ⷧⵉⵀ)ⵁ
ⷬⵊⵀ
ⷧⵋⵀ
ⷬ
ⷧⵋⴿ
❧ ⥔⥐⥕

Минимум определяется как решение СЛАУ ⤮⥜ = ⥜⸖ с симметричной положительно -определенной
матрицей ⤮= ⤲+(⧤␋⥏ⵂ)⤱, где матрица ⤱= ⤱ⷘ (вырождена):

⤱㲃=㲃
⣔
⣓⣓
⣒
㲃㲃╾㲃㲃㲃㲃㲃−╿㲃㲃㲃㲃㲃㲃╾㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃╽㲃㲃㲃㲃㲃㲃╽㲃㲃㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃╽
−╿㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃▂㲃㲃㲃㲃−▁㲃㲃㲃㲃㲃㲃╾㲃㲃㲃㲃㲃㲃╽㲃㲃㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃╽
㲃㲃╾㲃㲃㲃㲃㲃−▁㲃㲃㲃㲃㲃㲃▃㲃㲃㲃㲃−▁㲃㲃㲃㲃㲃㲃╾㲃㲃㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃
㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃⏯㲃㲃
㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃╾㲃㲃㲃㲃−▁㲃㲃㲃㲃㲃▂㲃㲃㲃㲃−╿
㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃╽㲃㲃㲃㲃㲃㲃╾㲃㲃㲃−╿㲃㲃㲃㲃㲃㲃㲃╾ ⣗
⣖⣖
⣕
㲃㲃.

Для данной матрицы ⤮ найден эффективный метод обращения (методом прогонки), который требует
порядка 9 ⥕ операций умножения и ⥕ операций деления.
Вариант В. Проводится дискретизация уравнения Эйлера (3) на равномерной сетке. Оператор
дифференцирования четвертого порядка заменим соответствующим оператором конечной разности
четвертого порядка: ⥜ⷧ(ⵃ)≈ ⵀ
ⷦ⸹(⥜ⷧⵊⵁ−▁⥜ⷧⵊⵀ+▃⥜ⷧ−▁⥜ⷧⵉⵀ+⥜ⷧⵉⵁ)⏬⥐= ╽⏬⏯⏯⏯⏬⥕−╾. С учетом нулевых
граничн ых условий, мы можем рассма тривать нашу функцию как периодическую
(с периодом ⥁= ⥉−⥈ ) и принять ⥜ⵊⵀ= ⥜ⷬⵊⵀ⏬⥜ⵊⵁ= ⥜ⷬⵊⵁ⏬⥜ⷬⵉⵀ= ⥜ⵀ⏬⥜ⷬⵉⵁ= ⥜ⵁ.Тогда

American Scientific Journal № ( 30) / 2019 33

⥜ⵀ(ⵃ)≈ ⵀ
ⷦ⸻(⥜ⷬⵊⵀ−▁⥜ⴿ+▃⥜ⵀ−▁⥜ⵁ+⥜ⵂ)⏬
⥜ⷬⵊⵀ(ⵃ)≈ ⵀ
ℎ⸻(⥜ⷬⵊⵂ−▁⥜ⷬⵊⵁ+▃⥜ⷬⵊⵀ−▁⥜ⴿ+⥜ⵀ).

Отсюда получаем СЛАУ : (⤲+⥗⤰ )⥜= ⥜⸖⏬ ⥗= ⧤␋⥏ⵃ , где ( ⤲+⥗⤰ ) симметричная циркулянтная
матрица:

⤲+⥗⤰ =
⣔
⣓⣓⣓
⣒
╾+▃⥗ −▁⥗ ⥗ ╽ ╽ ⏯⏯⏯ ╽ ⥗ −▁⥗
−▁⥗ ╾+▃⥗ −▁⥗ ⥗ ╽ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ╽ ⥗
⥗ −▁⥗ ╾+▃⥗ −▁⥗ ⥗ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ╽
⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯
╽ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ╽ ⥗ −▁⥗ ╾+▃⥗ −▁⥗ ⥗
⥗ ╽ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ╽ ⥗ −▁⥗ ╾+▃⥗ −▁⥗
−▁⥗ ⥗ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ⏯⏯⏯ ╽ ⥗ −▁⥗ ╾+▃⥗⣗
⣖⣖⣖
⣕
.

Следовательно, при решении СЛ АУ можно избежать трудоемкой операции обращения матрицы и
найти решение в явном виде, т.к. известны вещественные собственные значения
⥠ⷩ= ╾+⥗(▃−▁⥙ⷩ+⥙ⷩⵁ+⥙ⷩⷬⵊⵁ−▁⥙ⷩⷬⵊⵀ) и собственные вектора ⥟ⷩ= (╾⏬⥙ⷩ⏬ ⥙ⷩⵁ⏬ ⏯⏯⏯⏬ ⥙ⷩⷬⵊⵀ)ⷘ,
где ⥙ⷩ= ⥊⥖⥚ ⵁ⸢ⷩ
ⷬ +⥐⥚⥐⥕ ⵁ⸢ⷩ
ⷬ (k-й корень из 1).
Для нахождения ⥠ⷩ вычислим ▃−▁(⥙ⷩ+⥙ⷩⷬⵊⵀ)+⥙ⷩⵁ+⥙ⷩⷬⵊⵁ=
= ▃−▅⥊⥖⥚ ⧤ⷩ+╿⥊⥖⥚ ╿⧤ⷩ= ╾▃ ⥚⥐⥕ ⵃ⸓⻡ⵁ⏬ ⧤ⷩ= ⵁ⸢ⷩ
ⷬ. Таким образом, ⥠ⷩ= ╾+╾▃ ⥗⥚⥐⥕ ⵃ⸢ⷩ
ⷬ> ╽
(отсюда матрица ⤲+⥗⤰ является положительно -определенной) и решение дается как ⥜= ⵀ
ⷬ⤳⟦⧔ⵊⵀ⤳⥜⸖, где
⧔ⵊⵀ= ⥋⥐⥈⥎ {⥠ⴿⵊⵀ⏬⥠ⴿⵊⵁ⏬⏯⏯⏯⏬⥠ⷬⵊⵀⵊⵀ}, ⤳ - матрица дискр етного преобразования Фурье, у которой столбцами
являются собственные вектора ⥟ⷩ.
Можно также рассматривать следующий оператор конечной разности четвертого порядка([6],
с.234):
⥜ⷧ(ⵁ)≈ ⵀ
ℎ⸹(⧤ⵁ⥜ⷧⵊⵁ+⧤ⵀ⥜ⷧⵊⵀ+⧤ⴿ⥜ⷧ+⧤ⵀ⥜ⷧⵉⵀ+⧤ⵁ⥜ⷧⵉⵁ),
⥜ⷧ(ⵃ)≈ ╾
ℎⵁ(⧤ⵁ⥜ⷧⵊⵁ(ⵁ)+⧤ⵀ⥜ⷧⵊⵀ(ⵁ)+⧤ⴿ⥜ⷧ(ⵁ)+⧤ⵀ⥜ⷧⵉⵀ(ⵁ)+⧤ⵁ⥜ⷧⵉⵁ(ⵁ))=
╾
⥏ⵃ(⧥ⵃ⥜ⷧⵊⵃ+⧥ⵂ⥜ⷧⵊⵂ+⧥ⵁ⥜ⷧⵊⵁ+⧥ⵀ⥜ⷧⵊⵀ+⧥ⴿ⥜ⷧ+⧥ⵀ⥜ⷧⵉⵀ+⧥ⵁ⥜ⷧⵉⵁ+⧥ⵂ⥜ⷧⵉⵂ+⧥ⵃ⥜ⷧⵉⵃ)⏬

где ⧤ⴿ= −▃╽ ⏬⧤ⵀ= ▀╿ ⏬⧤ⵁ= −╿. Значения ⧥ⷩ выражаются через ⧤ⷩ как
⧥ⴿ= ╿(⧤ⴿⵁ+⧤ⵀⵁ+⧤ⵁⵁ)⏬⧥ⵀ= ╿(⧤ⴿ⧤ⵀ+⧤ⵁ⧤ⵀ)⏬⧥ⵁ= ⧤ⵀⵁ+╿⧤ⵁ⧤ⴿ⏬⧥ⵂ= ╿⧤ⵁ⧤ⵀ⏬⧥ⵃ= ⧤ⵁⵁ⏯ Принималось
⥜ⴿ= ⥜ⷬ⏬⥜ⵊⵀ= ⥜ⷬⵊⵀ⏬⥜ⵊⵁ= ⥜ⷬⵊⵁ⏬⥜ⵊⵂ= ⥜ⷬⵊⵂ⏬⥜ⵊⵃ= ⥜ⷬⵊⵃ⏬ ⥜ⷬⵉⵀ= ⥜ⵀ⏬⥜ⷬⵉⵁ= ⥜ⵁ⏬⥜ⷬⵉⵂ= ⥜ⵂ⏬⥜ⷬⵉⵃ= ⥜ⵃ.
Собственные значения
⥠ⷩ= ╾+⥗(⧥ⴿ+⧥ⵀ⥙ⷩ+⧥ⵁ⥙ⷩⵁ+⧥ⵂ⥙ⷩⵂ+⧥ⵃ⥙ⷩⵃ+⧥ⵃ⥙ⷩⷬⵊⵃ+⧥ⵂ⥙ⷩⷬⵊⵂ+⧥ⵁ⥙ⷩⷬⵊⵁ+⧥ⵀ⥙ⷩⷬⵊⵀ)⏬ или
⥠ⷩ= ╾+⥗(⧥ⴿ+╿(⧥ⵀ⥊⥖⥚ ⧤ⷩ+⧥ⵁ⥊⥖⥚ ╿⧤ⷩ+⧥ⵂ⥊⥖⥚ ▀⧤ⷩ+⧥ⵃ⥊⥖⥚ ▁⧤ⷩ)). Решение также дается как
⥜= ⵀ
ⷬ⤳⟦⧔ⵊⵀ⤳⥜⸖. Меняется только ⧔ⵊⵀ= ⥋⥐⥈⥎ {⥠ⴿⵊⵀ⏬⥠ⴿⵊⵁ⏬⏯⏯⏯⏬⥠ⷬⵊⵀⵊⵀ}. Собственные вектора
⥟ⷩ= (╾⏬⥙ⷩ⏬ ⥙ⷩⵁ⏬ ⏯⏯⏯⏬ ⥙ⷩⷬⵊⵀ)ⷘ, как известно, являются общими для всех циркулянтов([7], с.44).
Вариант Г. Выразим решение (3) в явном виде. Предварительно, приведем уравнение к виду:

⥜(ⵃ)+▁⧮ⵃ⥜= ▁⧮ⵃ⥜⸖ ⏬ ⥜(⥈)= ⥜′(⥈)= ⥜(⥉)= ⥜′(⥉)= ╽,

где ⧮= (⤿␋(╿⧧))ⵀ␋ⵁ. Решением данного уравнения является функци я:

⥜(⥟)= ◎ ⥊ⷩ⥜ⷩ(⥟)㲃+㲃▁⧮ⵃ㲃⟷ ⥜ⵃ(⥟−⥛)⥜⸖(⥛)⥋⥛ 㲃 ⷶ
⷟ ⵃⷩⵋⵀ ,

где ⥜ⵀ(⥟)㲃=㲃⥊⥖⥚ ℎ⧮⥟⢏⥊⥖⥚ ⧮⥟㲃⏬ ⥜ⵁ(⥟)㲃=㲃ⵀ
ⵁ(⥊⥖⥚ ℎ⧮⥟⢏⥚⥐⥕ ⧮⥟㲃+㲃⥚⥐⥕ ℎ⧮⥟⢏⥊⥖⥚ ⧮⥟),
⥜ⵂ(⥟)㲃=㲃ⵀ
ⵁ⥚⥐⥕ ℎ⧮⥟⢏⥚⥐⥕⧮⥟㲃⏬ ⥜ⵃ(⥟)㲃=㲃ⵀ
ⵃ(⥊⥖⥚ ℎ⧮⥟⢏⥚⥐⥕ ⧮⥟㲃−㲃⥚⥐⥕ ℎ⧮⥟⢏⥊⥖⥚ ⧮⥟).
Коэффициенты ⥊ⷩ определяются из граничных условий: (4)0 2 1 0 1 2 4
1 ( 4 6 4 ), nn u u u u u u
h −−  − + − + ( 4)2 4 3 2 1 0 4
1 ( 4 6 4 ), n n n n nu u u u u u
h − − − − −  − + − +

34 American Scientific Journal № ( 30) / 20 19
⪦⳥(⪒)⪔⳥+⪦⳦(⪒)⪔⳦+⪦⳧(⪒)⪔⳧+⪦⳨(⪒)⪔⳨= ⳤ,
⪦⳥(⪓)⪔⳥+⪦⳦(⪓)⪔⳦+⪦⳧(⪓)⪔⳧+⪦⳨(⪓)⪔⳨= ⪓⳧,
−⳨⪦⳨(⪒)⪔⳥+⪦⳥(⪒)⪔⳦+⪦⳦(⪒)⪔⳧+⪦⳧(⪒)⪔⳨= ⳤ,
−⳨⪦⳨(⪓)⪔⳥+⪦⳥(⪓)⪔⳦+⪦⳦(⪓)⪔⳧+⪦⳧(⪓)⪔⳨= ⪓⳨,
⪓⳧= −⳨⫐⳨⟷ ⪦⳨(⪓−⪥)⪦⫉(⪥)⪕⪥ ⪓
⪒ ,
⪓⳨= −⳨⫐⳧(⪕
⪕⪩ ⟷ ⪦⳨(⪩−⪥)⪦⫉(⪥)⪕⪥ ⪩
⪒ )㑥⪩ⵋ⪓.
Доказательство дано в ([5]).
Замечание 1. . Оценки параметров алгоритма - ⧧ ⓖ ⤿ несложно вычисляются применением метода
скользящего среднего: пу сть ⥀ⷫ- оператор применения метода скользящего среднего по ⥔ точкам. Тогда,
можно определить ⧧= ✬⥀ⷫ(⥜⸖)−⥜⸖✬⏬ ⤿= ✬⤹ⵁ⥀ⷫ(⥜⸖)✬.
Замечание 2. Если искомая функция не удовлетворяет нулевым граничным условиям (3), т.е.
выполняе тся ⥜(⥈)= ⥠ⵀ ⏬ ⥜㏼(⥈)= ⥋ⵀ ⏬ ⥜(⥉)= ⥠ⵁ ⏬ ⥜㏼(⥉)= ⥋ⵁ так, что ⥠ⵀⵁ+⥠ⵁⵁ+⥋ⵀⵁ+⥋ⵁⵁ≠ ╽, то вводим
новую функцию ⥡(⥟)= ⥜(⥟)−⤽ⵂ(⥟), где ⤽ⵂ(⥟)= ⵀ
ⷠⵊ⷟[(⥉−⥟)⥠ⵀ+(⥟−⥈)⥠ⵁ]++(ⷶⵊ⷟)(ⷶⵊⷠ)
(ⷠⵊ⷟)⸺ [(⥋ⵀ(⥉−⥈)+
⥠ⵀ−⥠ⵁ)(⥟−⥉)+(⥋ⵁ(⥉−⥈)+⥠ⵀ−⥠ⵁ)(⥟−⥈)] Тогда, очевидно, ⊧(⥈)= ⥡㏼(⥈)= ⥡(⥉)= ⥡㏼(⥉)= ╽,
функция ⥜⸖(⥟) заменится на ⥜⸖(⥟)−⤽ⵂ(⥟), значение ⧧ останется прежним, но ⤿ изменится на
⤿ⷸ= (⤿ⵁ−(⤽ⵂ′′⤽ⵂ′−⤽ⵂ′′′⤽ⵂ)〶⷟
ⷠ)ⵀ␋ⵁ.
Замечание 3. Данный алгоритм может также применяться для фильтрации шумов
экспериментальных данных; на рис.1 показано выделение полезного сигнала.
Рис.1. Филь трация шумов экспериментальной функции.

Замечание 4. Определенную сложность для
известных алгоритмов проведения линии фона
вызывает требование проведения линии фона
строго под спектром. Наш алгоритм успешно
справляется с подобным требованием (см. рис.2) 0 20 40 60 80 100 120 140
1
2
3
4
5
6
7
Yfilter
Yexp

American Scientific Journal № ( 30) / 2019 35

Рис.2. По условиям задачи линия фона проведена строго под спектром.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗ ОВАНИЕ
Данный алгоритм успешно применялся при
обработки данных порошковых дифрактограмм,
оже -спектроскопии, газовой электронографии,
нейтр онограмм ( рис. 3 -5).

Рис.3. Выделение линии фона в газовой электронографии
(Yexp –интенсивност ь рассеяния электронов на газе молекулы CHCl 3).
0 500
-3
0
3
Yexp
Background 0 20 40 60 80 100 120
0.36
0.37
0.38
0.39
0.40
0.41
0.42
Yexp
Background

36 American Scientific Journal № ( 30) / 20 19
Рис.4. Выделение линии фона по данным порошковой рентге нограммы
(количество точек -3500).
Рис.5. Выделение линии фона по данным нейтронограммы.

При числе точек в спектре N=4096 время счета
занимает менее долей секунды на PC средней
мощности. Проведенные тесты показали, что
огранич ения на количество точек спектра
определяется только ограниченностью памяти PC .
В этом смысле интересно рассмотреть следующую
постановку задачи проведения линии фона: с
непрерывно работающего прибора поступает
спектр; требуется в режиме реального времени
выдавать числовые значения спектра без линии
фона. В настоящее время такой алгор итм нами
разработан, проводится его апробация.
Заключение. На основе метода регуляризации
А.Н.Тихонова разработан эффективный алгоритм и
серия соответствующих программ для выде ления
гладкой линии фона при обработке
экспериментальных данных. Следует отмети ть, что
алгоритм пригоден не только для выделения линии
фона, но и для построения фильтрующей функции.

Литература
1. Тихонов А.Н, Арсенин В.Я. Методы
решения некорректных задач. - М., Наука, 1979, 285
с.
2. Морозов В.А. Регулярные методы решения
некорректно поставленных задач. - М.: Изд -во
МГУ, 1974, 359 с.
3. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников
А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука,
1980, 231 с.
4. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы
решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978,
591 с.
5. Дея нов Р.З., Щедрин Б.М. Восстановление
гладкой функции детерминированным методом
регуляризации. - М.: Изд -во МГУ, В кн.
Вычислительные методы и программирование,
вып. 39, 1983, с.55 -61.
6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы
вычислений. т.1. - М.: Наука, 1966, 464 c.
7. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е.
Вычислительные процессы с теплицевыми
матрицами. - М.: Наука, 1987, 320 с. -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Yexp
Background 0 400 800
0
3
6
Background
Yexp