Американский Научный Журнал -МНОГООБРАЗИЯ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ТЕНЗОРОМ РИЧЧИ

10 American Scientific Journal № ( 20 ) / 201 8
МАТЕМАТИКА
�� -М Н О Г О О Б Р А З И Я С П А Р А Л Л Е Л Ь Н Ы М Т Е Н З О Р О М Р И Ч Ч И

Рустанов Алигаджи Рабаданович
кандидат физико -математических наук, Моск овский педагогический государственный универси-
l_l BgklblmlkhpbZevgh -гуманитарного образования, доцент кафедры теоретической и специальной
khpbheh]bb ]Fhkd\Z

��-MANIFOLDS WITH PARALLEL TENSOR RICCI

Rustanov Aligadzhi Rabadanovich
Candidate of Physics and Mathematics, Moscow Pedagogical State University, Institute of Social and Hu-
manitarian Education, Associate Professor of the Department of Theoretical and Special Sociology, Moscow

АННОТАЦИЯ .
В работе рассматриваются 10-многообразия с парал лельным тензором Риччи, приводятся некоторые
тождества на тензор Риччи, доказано что тензор Риччи 10-многообразия является Ф -инвариантным. По-
лучена локальная характеризация 10-многообразия с параллельным тензором Риччи.
ABSTRACT .
We consider 10-manifolds with parallel Ricci tensor, give some identities to the Ricci tensor, prove that the
Ricci tensor of the 10-manifold is Φ -invariant. A local characterization of a 10-manifold with a parallel Ricci
tensor is obtained.
Ключевые слова : тензор Р иччи, косимплектическая структура, 10-многообразие, параллельный тен-
зор Риччи.
Keywords : Ricci tensor, cosymplectic structure, 10-manifold, parallel Ricci tensor.

0. Введение
Одним из наиболее содержательных примеров
^bnn_j_gpbZ evgh -геометрических структур со-
klZ\eyxl ihqlb dhglZdlgu_ f_ljbq_kdb_ kljmd
lmju Bgl_j_k d l_hjbb wlbo kljmdlmj h[hkgh\Zg
[h]Zlkl\hf\gmlj_gg_]hkh^_j`ZgbykZfhcl_hjbb
Z lZd`_ __ \aZbfhk\yayfb k ^jm]bfb jZa^_eZfb
^bnn_j_gpbZevghc ]_hf_ljbb Hkh[_ggh k ihq lb
wjfblh\hc]_hf_ljb_cQbgvyb=hgaZe_a>@ijh\_e
deZkkbnbdZpbx ihqlb dhglZdlguo f_ljbq_kdb
kljmdlmj ZgZeh]bqgmx deZkkbnbdZpbb =j_y -
Хервеллы почти эрмитовых структур. Кириченко
<N \ >@ ihemqbe ba ^jm]bo khh[jZ`_gbc ih^h[
gmx deZkkbnbdZpbx ihqlb dhglZ dlguo f_ljbq_
kdbo kljmdlmj DeZkkbnbdZpby ihqlb dhglZdlguo
f_ljbq_kdbokljmdlmj\hlebqb_hldeZkkbnbdZpbb
ihqlb wjfblh\uo kljmdlmj y\ey_lky ijZdlbq_kdb
g_h[hajbfhc;he__lh]h\gmljbwlbodeZkkh\_kl_
kl\_ggh \u^_eyxlky jy^ ^jm]bo ih^deZkkh\ <
gZklhys__ \j_fy ih l_f beb bguf khh[jZ`_gbyf
bamqZ_lky ebrv g_[hevrh_ qbkeh wlbo deZkkh\
GZb[he__ bamq_gguf y\ey_lky deZkk dhkbfie_dlb
q_kdbofgh]hh[jZabcIj_^klZ\ey_lbgl_j_kbamq_
gb_ gZb[he__ bgl_j_kguo b _kl_kl\_gguo h[h[s_
gbc wlh]h deZkkZ fgh]hh[jZabc H^gbf ba таких
h[h[s_gbc y\eyxlky 10-многообразия в класси-
фикации Чинья и Гонзалеза [1]. В данной работе мы
изучаем геометрию тензора Риччи 10-многообра-
зий.
Работа организована следующим образом. В
i_j\hf iZjZ]jZn_ fu ijb\h^bf g_h[oh^bfu_ ^ey
^Zevg_cr_]h bkke_ ^h\Zgby k\_^_gby h ihqlb dhg
lZdlguo f_ljbq_kdbo fgh]hh[jZabyo deZkkZ 10.
Доказаны несколько тождеств, которым удовлетво-
ряет тензор Риччи 10-многообразия. В параграфе 2
мы доказываем, что тензор Риччи 10-многообра-
зия является Ф -инвариантным. Основным резуль-
татом данного параграфа, как и всей статьи явля-
ется Теорема 2.3, дающая локальную характериза-
цию 10-многообразий с параллельным тензором
Риччи.
1. Определение и основные свойства ��-
многообразий
Все многообразия, рассматриваемые в данной
jZ[hl_ij_^iheZ]Zxlky]eZ^dbfbdeZkkZ ∞ и связ-
gufb
Определение 1.1 [2]. Почти контактной мет-
jbq_kdhc kljmdlmjhc на многообразии М называ-
_lkyljhcdZ (Φ,,�) тензорных полей на этом мно-
гообразии, где Ф – эндомор физм модуля (),
называемый структурным эндоморфизмом , ξ –
векторное поле, называемое характеристическим ,
 – дифференциальная 1 -форма, называемая кон-
тактной формой структуры. При этом
1) �()= 1; 2) �∘Φ = 0; 3) Φ()= 0; 4) Φ2= − +�⨂. (1.1)
Если, кроме того, на М фиксирована риманова структура = 〈⋅,⋅〉, такая, что
〈Φ�,Φ�〉= 〈�,�〉−�(�)�(�); �,�∈(),(1.2)
четверка (Φ,,�,) называется почти контактной метрической (короче, AC -) структурой . Много-
образие, на котором фиксирована (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответ-
ственно, ( почти ) контактным [метрическим ] многообразием .
Определение 1.2 [3]. Почти контактная метрическая структура, характеризуемая тождеством

American Scientific Journal № (20 ) / 201 8 11
∇�(Φ)�+∇�(Φ)�= ∇�(�)Φ�+�(�)∇Φ�; ∀�,�∈�(). (1.3 )
называется 10-структурой . Почти контактное метрическое многообразие, снабженное 10-структу-
jhcgZau\Z_lky 10-многообразием .
Теорема 1.1 [3]. Полная группа структурных уравнений 10-структуры на пространстве присоединен-
ghc G-структуры имеет вид:
1) = ���∧�+���∧�; 2) �= −���∧�+���∧; 3) �= ���∧�+��� �∧
�+���∧; 4) ���+���∧���= (���� −����)�∧�; 5) �� −�����−�����= 0; 6) �� +
�����+�����= 0; 7) ���� +��ℎ��ℎ�+���ℎ�ℎ�−ℎ�����ℎ−�ℎ����ℎ= ��ℎ�� ℎ+����ℎℎ, (1.4)
где
�� +�� = 0,�� +�� = 0,��̅̅̅̅̅= ��,[��] �� = ��[��]= 0,�[���]= �[���]= 0,�[�ℎ] �� =
0,���[�ℎ]= 0,�[��� |�|]= ���[�|�|],���[�|�|]= �[���|�|]. (1.5)
Тождество �[��� |�|]= ���[�|�|] называется первым фундаментальным тождеством , тожде-
kl\h �[���]= 0 называется вторым фундаментальным тождеством .
Предложение 1.2 [3]. 10-многообразие является косимплектической тогда и только тогда, когда
�� = �� = 0, т.е. (�)= 0.
Для тензорных компонент формы римановой связности на пространстве присоединенной G-
структуры имеют место следующие соотношения [3]:
1) ��̂�= 0; 2) ���̂= 0; 3) ��̂0= −�0�= ���; 4) ��0= −�0�̂= ���. (1.6)
Напомним, что существенные ненулевые компоненты тензора римановой кривизны имеют вид [3]:
1) ���̂00 = ����; 2) ����̂� = ����; 3) ��̂�̂�̂� = −����; 4) �����̂ = −����, (1.7)
плюс соотношения, полученные с учетом классических свойств симметрии тензора римановой кри-
\baguHklZevgu_dhfihg_gluwlh]hl_gahjZgme_\u_
Ковариантные компоненты тензора Риччи на пространстве присоединенной G-струк туры имеют вид
[3]:
1) �00 = −2����; 2) ���̂= ��̂�= ���� −����, (1.8)
остальные компоненты нулевые.
Скалярная кривизна [3]
= 2���� −4����. (1.9)
Длину тензорного поля Т, определенного на М, обозначается через ‖�‖ и определяется формулой
‖�‖2= (�,�). Вычислим длину структурного тензора 10-структуры. ‖(�)‖2= ((�),(�))=
���(�)�(�)= ��̂�(�)�(�)+�̂��(�)�(�)= 2��������= −2��������.
Теорема 1.3. Пусть М – 10-многообразие. Тогда тензор Риччи удовлетворяет следующим тожде-
kl\Zf
1) �(,)= 2���� = 2∑ |��|2 �,� ;
2) �(,�)= −2�(�)∑ |��|2 �,� ;
3) �(,Φ�)= 0;
4) �(Φ�,�)+�(�,Φ�)= 0; �,�∈().
Доказательство: Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам �00 = −2����,
�0�= 0, получим равенства 1) и 2). сделав замену �→ Φ� в тождестве 2), получим тождество 3). Приме-
няя процедуру восстановления тождества к соотношениям ��� = 0, получим �(Φ2�,Φ2�)−�(Φ�,Φ�)=
0. Если в полученном тождестве сделать замену �→ Φ�, то с учетом тождества 3), получим тождество 4).
§2. ��-многообразие с -параллельным тензором Риччи
Пусть 2+1 – почти контактное метрическое (короче, AC -) многообразие, снабженное AC -
структурой (,�,Φ,= 〈∙,∙〉).
Определение 2.1 . Скажем, что AC -многообразие имеет Ф -инвариантный тензор Риччи, если
Φ�= �Φ. (2.1)
Расписывая равенство (2.1) на пространстве присоединенной G-структуры, получим, что если AC -
многообразие имеет Ф -инвариантный тензор Риччи, то имеют место следующие соотношения:
1) �0�= �0�̂= ��0= ��̂0= 0; 2) ��� = ��̂�̂= 0. (2.2)
Верно и обратное, т.е. если на пространстве присоединенной G-структуры верны соотношения (2.2).
То AC -многообразие имеет Ф -инвариантный тензор Риччи.
Т.е. имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1 . AC -многообразие имеет Ф -инвариантный тензор Риччи тогда и только тогда, когда на
пространстве присоединенной G-структуры справедливы равенства 1) �0�= �0�̂= ��0= ��̂0=
0; 2) ��� = ��̂�̂= 0.
Пусть 2+1 – AC -многообразие, снабженное 10-структурой (,�,Φ,= 〈∙,∙〉). Поскольку компо-
ненты тензора Риччи удовлетворяют условиям теоремы 1, т.е. имеют место равенства 1) �0�= ��0= �0�̂=
��̂0= 0; 2) ��� = ��̂�̂= 0, то тензор Риччи 10-многообразия является Ф -инвариантным. Т.е. имеет место
следующая теорема.
Теор ема 2.2 . Тензор Риччи 10-многообразия является Ф -инвариантным.

12 American Scientific Journal № ( 20 ) / 201 8
Введем обозначения ��= ����, ��= ����. С учетом (1.4:7) имеем ���� +��ℎ��ℎ�+���ℎ�ℎ�−ℎ�����ℎ−
#�ℎ����ℎ= ��ℎ�� ℎ+����ℎℎ, т.е. ��+�ℎ�ℎ�−ℎ���ℎ= �ℎ�ℎ+��ℎℎ. И согласно (1.4:5) и (1.4:6), имеем
��= (��)�� +��(��)= −(�����+�����)�� +��(�����+�����)= −�������−
(�������+�������+�������, т.е. ��+�����−�����= 0.
Таким образом,
1) ��+�ℎ�ℎ�−ℎ���ℎ= �ℎ�ℎ+��ℎℎ; 2) ��+�����−�����= 0. (2.3)
Определение 2.2. Скажем, что тензор Риччи S AC -многообразия является: параллел ьным [5], если
∇�= 0; -параллельным [5], если ∇�(�)(Φ�,Φ�)= 0,∀�,�,�∈().
Поскольку тензор Риччи является тензором типа (2,0), то по Основной теореме тензорного анализа
_]hdhfihg_glugZijhkljZgkl\_]eZ\gh]hjZkkeh_gbyj_i_jh\gZ^ М удовлетворяют соо тношениям [2]:
���−������−������= ���,��, (2.4)
где {���,�} – система гладких функций, служащая компонентами тензора ∇�.
Расписывая (2.4) на пространстве присоединенной G-структуры, с учетом (1.4), (1.6), (1.8) и (2.3), по-
лучим:
1) �0�,�= ���� −2������ −������; 2) �0�̂,�̂= ���� +2������ +������; 3) ��0,�=
#���� −2������ −������; 4) ���̂,�= ���; 5) ���̂,�̂= ���; 6) ��̂0,�̂= ���� −2������ −
(������; 7) ��̂�,�= ���; 5) ��̂�,�̂= ���, (2.5)
а остальные компоненты нулевые.
Пусть М является 10-многообразием с параллельным тензором Риччи, т.е. имеет место равенство
∇�= 0. На простр анстве присоединенной G-структуры это равенство равносильно соотношениям ���,�=
0. В частности, �0�,�= ���� −2������ −������ = 0, т.е.
���� = ���� −2����. (2.6)
Рассмотрим первое фундаментальное тож дество, т.е. �[��� |�|]= ���[�|�|], т.е.
���ℎℎ�−���ℎℎ�= ���� −����. (2.7)
Свернем тождество (2.7) по индексам a и b, тогда
�ℎℎ�−�ℎℎ�= �ℎℎ�−�ℎℎ�. (2.8)
Подставим (2.6) в (2.8), тогд а ���� = 2���� −2���� −����. В полученном тождестве переобозна-
qbf a и b, тогда
���� = 2���� −2���� −����. (2.9)
Из (2.6) и (2.9) получим:
2���� = ���� −2����. (2.10)
Рассмо трим теперь второе фундаментальное тождество, т.е. �[���]= 0. Свернем это тождество с
h[t_dlhf �ℎ, тогда �����ℎ+�����ℎ+�����ℎ= 0, т.е. �ℎ�� −�ℎ�� +�ℎ�� = 0. Полученное
lh`^_kl\hk\_jg_fihbg^_dkZf c и h, тогда
���� = ���� −����. (2.11)
Из (2.10) и (2.11) следует, что ���� = 0, а, зна-
qbl ���� = 0, т.е. �� = 0.
Таким образом, согласно Предложения 1.2,
10-многообразие с параллельным тензором Риччи
y\ey_lky dhkbfie_dlbq_kdbf fgh]hh[jZab_f B
mqblu\Zy ehdZevgh_ kljh_gb_ dhkbfie_dlbq_kdbo
fgh]hh[jZabc>@^hdZaZgZke_^mxsZyl_hj_fZ
Теорема 2.3 . 10-многообразие с параллель-
guf l_gahjhf Jbqqb y\ey_lky dhkbfie_dlbq_kdbf
fg h]hh[jZab_f Z agZqbl ehdZevgh wd\b\Ze_glgh
ijhba\_^_gbx d_e_jh\Z fgh]hh[jZaby gZ \_s_
kl\_ggmxijyfmx?kebfgh]hh[jZab_h^ghk\yagh
lh mdZaZggu_ ehdZevgu_ wd\b\Ze_glghklb fh`gh
\u[jZlv]eh[Zevgufb

Список использованной литературы
1. D. Chinea , C. Gonzal ez. Classification of al-
most contact metric structures // Annali di Matematica
pura ed applicata (IV). - 1990. – V, CLVI . - P. 15 -36.
2. Кириченко В.Ф. Дифференциально -геомет-
jbq_kdb_ kljmdlmju gZ fgh]hh[jZabyo Ba^Zgb_
\lhjh_ ^hiheg_ggh_ H^_kkZ ©I_qZlguc дом»,
2013.
3. А.Р. Рустанов. Тождества кривизны почти
dhglZdlguo f_ljbq_kdbo fgh]hh[jZabc deZkkZ 10
// Преподаватель XXI век. – 2010. - № 4. - С. 199 -
207.
4. В.Ф. Кириченко, А.Р. Рустанов. Дифферен-
pbZevgZy ]_hf_ljby d\Zab -сасакиевых многообра-
abc  FZl _fZlbq_kdbc k[hjgbd l  ‹  
71 -100.
5. C. Calin. Kenmotsu manifolds with -parallel
Ricci tensor. // Bull. Soc. Math . Banja Luka , 10 (2003),
10 -15.