Американский Научный Журнал О МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ БЛИЗНЕЦОВ

Аннотация. Рассматривается модель булевой алгебры, пропозициональными переменными (простыми высказываниями) которой являются последовательности натуральных чисел. Найден класс функций, замкнутый относительно логических операций. Это обобщенные арифметические прогрессии как кортежи арифметических прогрессий с различными первыми членами и одинаковыми разностями. Специальный случай обобщенных арифметических прогрессий описывает последовательность приведенных систем вычетов по почти простому модулю (произведению нескольких последовательных простых чисел). В сочетании с теоремой Лежена-Дирихле об арифметических прогрессиях доказана счетность простых чисел-близнецов. Скачать в формате PDF
American Scientific Journal № (2 9) / 2019 11

ON THE CARDINALITY O F THE TWIN PRIMES

Victor Senchukov
Is a PhD in Physics and Mathematics,
docent of the Department of Higher Mathematics and Economics and Mathematical Methods of
Simon KuznetsKharkiv National University of Economics.
Ukraine

О МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ БЛИЗН ЕЦОВ

Сенчуков Виктор Федорович
Канд. физ. -мат. наук,
доцент кафедры высшей математики и экономико -математических методов
Харьковского национального экономического университета имени Семена Кузнеца.
Украина

Abstract . A model of Boolean algebra is considered, the propositional variables (simple sentences) of which
are sequences of natural numbers. A class of functions is found that is closed with respect to logical operations.
These are generalized arithmetic progress ions as tuples of arithmetic pro gressions with different first members and
the same differences. A special case of generalized arithmetic progressions describes a sequence of systems of
adduced residues in an almost simple module (the product of several co nsecutive primes). In combinatio n with the
Lejeune -Dirichlet theorem on arithmetic progressions, the countability of the set of prime twin numbers is proved.
Аннотация. Рассматривается модель булевой алгебры, пропозициональными переменными
(простыми высказ ываниями) которой являются после довательности натуральных чисел. Найден класс
функций, замкнутый относительно логических операций. Это обобщенные арифметические прогрессии
как кортежи арифметических прогрессий с различными первыми членами и одинаковыми раз ностями.
Специальный случай обоб щенных арифметических прогрессий описывает последовательность
приведенных систем вычетов по почти простому модулю (произведению нескольких последовательных
простых чисел). В сочетании с теоремой Лежена -Дирихле об арифметичес ких прогрессиях доказана
счетнос ть простых чисел -близнецов.
Keywords: Boolean algebra, sequences, logical operations, generalized arithmetic progression, primes, twin
prime.
Ключевые слова: Булева алгебра, последовательности, логические операции, обобщенна я
арифметическая прогрессия, простые числа, простые числа -близнецы.

Введение
Под влиянием и в свете идей, которые привели к
созданию теории R-функций [7], разработаны
конструктивные средства, которые позволяют
построить формулу для функции, описываю щей
дискре тное множество с определенным свойством
элементов. ( Средства называют конструктивными,
если в них сразу задается правило (конструкция), по
которому функцию можно вычислить. )
Истоком всех понятий, на которых строится
изложение, является понятие ну мерац ии ка к
функционального отображения множества
натуральных чисел на заданное множество (не
обязательно числовой природы). В частности,
числовые последовательности (ч/п) с известным
общим членом являются множеством значений их
элементов. Привлечение к ра ссмот рению алгебры
логики и алгебры множеств дало возможность
построить модель булевой алгебры – алгебры,
пропозициональные переменные ( простые
высказывания) которой суть последовательности.
Предложенный алгебрологический подход к
изучению свойств натураль ных в озрас тающих
подпоследовательностей ряда натуральных чисел
назван методом аналитического решета (МАР ).
Теоретической основой МАР является
последовательностная модель булевой алгебры – � -
алгебра.
В тексте после теоремы, примера, задачи
ставится полужирная точка.
1. Последовательностная модель булевой
алгебры
Исходными множествами в изложении
являются дискретные числовые множества, в
частности множество натуральных чисел.

Из известных определений понятия числово й последовательности примем такое. Числовой
последова тельностью (ч/п ) элементов заданного множества называется определенная на
множестве натуральных чисел функция , область значений которой
принадлежит множеству : , то есть, на языке отображений, .
Упорядоченная пара – элемент , или чле н ч/п : , где – символ • M N ) ( n f x = f rng M M f  rng : f N M → ) , ( x n x
n
= ) ( n f x = n
x Е x Е

12 American Scientific Journal № ( 29 ) / 20 19
принадлежности; – общий член ч/п. Множество – подмножество – назовем
порождающим множеством (для) ч/п .
Если , то ч/п называют стационарной
Последовательность, порождающее множество которой пустое, называется пусто й и обозначается через
(от лат. sequentia – последовательность).
Пусть – некоторая возрастающая ч/п: . Композиция
, или – суперпозиция двух компонент, – называется
подпос ледовательностью ч/п : , где – символ включения.
Относительно после довательности ч/п назовем нумератором в и обозначим
через . В предельных случаях: и , получаем соответственно: і
.
Наряду с нумератором одной из характеристик подпоследовательности является индикатор –
двузначный предикат, значения которог о для каждого ее члена определяется буле вым алфавитом
:
= {1,если
0,если . (1.1)
где ( ) – знак принадлежности (непринадлежности) .
Индикаторы подпоследовательностей произвольной ч/п являются бесконечными булевыми
векторами, при этом , .
Из при веденн ых определений следует, что между подпоследовательностями, их нумераторами и
индикаторам и существует взаимно однозначное соответствие (биекция): .
Обычно рассматриваются подпоследовательности некоторой фиксированной ч/п, которая называется
основно й, или универсальной (универсумом ), и обозначается через . Универсум нумераторов –
последовательность натуральных чисел ( ), индикаторов – стационарная ч/п ( ).

Для лучшего понимания построения
последовательностной модели алгебры логики
сначала приведем нестрогое, в описательном
плане, ключевое понятие.
Под логическими операциями над
последовательностями будем понимать операции,
в результате выполнения которых получают
последовательности, составлены из тех или иных
элементов исходных последовательностей .
Хорошо известные арифметические операции
над последоват ельностями (+,−,×,:)сводятся к их
выполнению над элементами заданных
последовательностей – операндов, при этом
исходные последовательности будто ”теряются”.
Если же идет о логических операциях, то в ыходная
последовательность будто ”вбирает” в себя
определе нные свойства операндов.
Например, на вопрос, какая
последовательность будет об ъединением
последовательностей нечетных ( ) и
четных ( ) чисел, основываясь на чисто
интуитивных соображениях, можем с разу ответить:
последовательность натуральных чисел ( ).
Но как формальным путем получить такой
результат? В этой связи возникает проблема
создания таких конструктивных средств, с
помощью которых можно было бы по известным
аналитическим изображениям задан ных
последовательностей построить формулу
результата л огической операции над ними.
Перейдем к формализации приведенного выше
описательного определения – дефиниции –
логических операций над ч/п [8; 11].
Чтобы отличать такие операции от операций
алгебры мно жеств и алгебры логики, для них
используются другие с имволы. ) ( n f f rng M ) ( n f x = const n f x − = ) (   n N 
s :  N → N 0 ) ( ) 1 (   − +  n n )) ( ( n x y  =   x y = x y x y ) ( n   = y x y
 n
y
=  
=  s
y x y = 
= s y y y
 } 1 , 0 {
2
= B n y
) (  y x
y x
n
n
Е
Е Е Е x 
s
 ) ... , 0 , ... , 0 , 0 ( = x
 ...) , 1 ..., , 1 , 1 ( = y
y   y
y   
s n n = ) (

 1 ) ( = n

 1 2 − = n x n y 2 = n z =

American Scientific Journal № (2 9) / 2019 13

Пусть – ч/п, которые принадлежат множеству подпосле –довательностей некоторого
универсума ; , , – соответствующие нумераторы; ,
, – порождающие множества нумераторов.
Логической суммой ( -объединением ) двух последовательностей
, называется ч/п , порождающее множество нумератора которой суть объединение порождающих
множеств нумераторов исходных ч/п:
. (1.2)
Логическим произведением ( -пересечением ) двух ч/п , называется ч/ п ,
порождающее множество нумератора которой суть пересечение порождающих множеств нумераторов
исходных ч/п:
. (1.3)
Логической разностью ( -разностью ) двух последовательностей , называется ч/п ,
порождающее множество нумератора которой суть разность порождающих множеств нумераторов
исходных ч/п:
. (1.4)
Разность называется -дополнением последовательности
и обозначается через :
'. (1.5)
Формализованные логические операции объединяются общим названием – -операции. Нумера тор
рез ультата выполнения какой -либо операции над данными ч/п называется нумератором этой -
операции:
Τ , (1.6)
где ( Τ ) – один из символов , , ( , , ) соответственно.
Пусть – множество ч/п, которое замкнуто относительно композиций, –
мн ожест во нумераторов ч/п, а – соответствующая совокупность порождающих множеств
нумераторов, – множество индикаторов ч/п из .
Теорема 1.1. Множество с определенными на нем -операциями
является булевой алгеброй:
, , ). (1.7)
Доказательство. Каждой последовательности из множества , замкнутой относительно
композиций, отвечает порождающее множество нумератора. Согласно определений (1.2) – (1.5)
логических операций над ч/п
и биекций (1.6) алгебра и алгебра порождающих множеств нумераторов:
, ,' ), (1.8)
изоморфны, и это означает, что алгебра – булева алгебра.
Алгебра называется булевой алгеброй последовательностей , или коротко – -алгеброй.
Множество с системой операций: дизъюнкция ( ); конъюнкция
( ); инверсия, или отрицание ( , или надстрочный символ ), определяют алгебру двузначной
логики – булеву алгебру:
), (1.9) z y x , , 
s ) ( n a
x
=  ) ( n b
y
=  ) ( n c
z
=  A a rng = B b rng = C c rng = s x y z x z = y B A C  = s x y z x z = y B A C  = s x y z x z = y B A C \ = 
s z = x s x x = z x = C N A \ A = s s x z
 =  y
 = 
z
rng x
rng  y
rng    \ ) ( s M ) (  M ) (  rng M ) (  M ) ( s M ) ( s M s s
A ); ( ( s M = ) ( s M s
A  rng
A ); ( (  = rng M   s
A • s
A s ) (  M    − =

A , , ); ( (    M −

14 American Scientific Journal № ( 29 ) / 20 19
при этом , , связаны эквиваленцией:
 , . (1.10)
Под символом надо понимать одну из операций ; инверсия рассматривается как
отдельный случай отрицания импликации:
�̄�= 1→̄��= {1,если ��= 0
0,если ��= 1.
Благодаря биекции между множествами , , , и
однотипности операций делаем вывод об изоморфности (≅)соответствующих алгебр:
, (1.11)
где – алгебра нумератор ов: , , ), с такими же главными операциями,
как и .
С учетом цепочки изоморфизмов (1.11) -операции можно определить через операции над
индикаторами: , и положить в основу определения -алгебры соотношения:
, , ) ). (1.12)

Именно так ой подход положен в основу
последовательностной модели алгебры
конечнозначной логики [11]. Статьи [9; 10; 11]
можно найти в электронной базе данных zbMath :
Autor Senchukov , V. F., среди 9 Publications .
В дальнейшем рассмотрению подлежат
последовательности, теоретико -множестве нные
операции над порождающими множествами
которых дают счетное или пустое множество.

2. Базисные индикаторы и нумераторы числовых последоват ельностей
Пусть ; ; , . Функцией антье – целой
частью действительного числа – назыв ается ф ункция, которая обозначается через , или ,
и определяется двойным неравенством: , или . Читается: "целая
часть" или просто – "aнтье".
Приведем простейшие свойства [6]:

10. .
20. , откуда .
30. – тождество Эрмита.
Ели в 30 положить �� = �, то получим :

. (2.1)

Свойства 10 – 30 и (2.1) используются в дальнейшем при разработке конструктивных средств для
аналитического описания дискретных множеств.
Важными характеристиками ч/п как подпоследовательности универсума
является индикатор (см. (1.1)) – бесконечный булевый вектор, координаты которого нули и единицы (он x
 y
 z
 x z
  = y
 n x n z
) ( ) (   = n y
) (  ... , 2 , 1 = n , ,   → ) ( s M ) (  M ) (  rng M ) (  M s
A  
A   rng
A  
A 
A 
A ); ( (  M = s
A s , ,   − s s
A ); ( ( s M = =

A , , ); ( (    M −  t m n k i , , , , N  c Z  z y x , , R 0  z x ] [ x ) ( x E x x x   − ] [ 1 1 ] [ ] [ +   x x x ) ( x E c x c x + = + ] [ ] [ 





=






n
x
n
x ] [   x
n
nx
=





 ] [ 




 −
+ + +






+ +






+ +
t
t
x
t
x
t
x x
1
...
2 1
] [ ] [ tx = 
=





 − +
t
i
t
i t c
1 
=





 − +
=
t
i
t
i c
1
1 c = ) ( n x x = ) ( n s s
 
=

American Scientific Journal № (2 9) / 2019 15

определяется двузначным предикатом), и нумератор как последовательность номеров элементов
универсума, что определяет ч/п .
В аналитическом виде некоторые индикаторы и нумера торы о писываются на языке антье [9; 10].
Пусть – натуральные переменные, � – фиксировано ( ). Бесконечные булевы векторы
(обозначим их через ��(�)), которые описываются соотношениями:
, , (2.2)
называются базисными индикаторами ч/п, а вся их совокупность – -базисом индикаторов:
, .
Теорема 2.1 (о базисных индикаторах ). Базисные индикаторы обладают свойствами:
1) – периодическая ч/п с периодом : , ;
2) координатами индикаторов являются нули и единицы:
: ;
3) сумма всех, в количест ве , индикаторов есть стационарная ч/п:

.
Доказательство сводится к использованию свойств антье .
1.
.
Согласно свойству 10 единицы выносятся за знак антье и взаимно уничтожаются. Таким образом,
базисные индикаторы – периодические последовательности.
2. Берем , тогда
��(�)= � −1−[� −1+−1
]= −[−1
]= 1
.
В случае осуществляем переход к равенству:
  ;
, .
Таким образом,
,
поскольку если
�> 1:[�
]−[�−1
]= 0∀�= 1,2,...,�−1.
3. После суммирования по индексу в алгебраиче ской сумме сл агаемые через один,
начиная со второго, взаимно уничтожаются, остаются только первый и последний, сумма которых для всех
натуральных тождественно равна единице: ) ( n x x = n i ,  T N 




 + −






 −
=
T
i n
T
i n
n e
i
) 1 (
) ( T i , 1 = e
T )} ( { n e
i T i , 1 = ) ( n e
i ) ( n e
i T = + ) ( T n e
i ) ( n e
i T i , 1 =   m N 


− + 
− + =
=
T m i n
T m i n
n e
i
) 1 ( , 0
) 1 ( , 1
) (
T ...) , 1 ..., , 1 , 1 , 1( ) (
1
= 
=
T
i
i
n e ) ( n

 = = + ) ( T n e
i 




 + − +






 − +
T
i T n
T
i T n ) 1 ( 





+
+ −







+

= 1
) 1 (
1
T
i n
T
i n T m i n ) 1 ( − + = T m i n ) 1 ( − +  T m i n ) 1 ( − +  mT i n T m i +   − + ) 1 ( a T m i + − + ) 1 ( T a   0  a N 0
1
)1 ( )1 ( ) ( =



 −
+ − −




+ − =
T
a
m
T
a
m n ei ) ( n e
i i n

16 American Scientific Journal № ( 29 ) / 20 19
.
Это означает, что сумма базисных индикаторов определяет унив ерсум и явл яется
универсумом индикаторов: .
Следствия из третьего свойства:
1) сумма произведений номеров (индексов) индикаторов с самими индикаторами дает периодическую
последовательность:
; (2.3)
2) любая периодическая ч/п с периодом представляется как лине йная комбинация базисных
индикаторов:
. (2.4)
Отметим, что арифметические и логические суммы, и логические произведения базисных
индикаторов совпадают; для всех логических операций над из справедливы
формулы [1]:
, , . (2.5)
Замечание. Если в п равой час ти (2.2) прибавить и отнять единицу, то базисные индикаторы
принимают вид:
, , (2.6)
что дает возможность оперировать под знаком антье неотрицательными числами. Чтобы подчеркнуть наличие
параметра вместо пишут .
Арифметические прогрессии , общие члены которых описываются соотношениями:
, , (2.7)
называются базисными нумераторами ч/п, а вся их совокупность – -базисом нумераторов:
, .
Теорема 2.2 (о базисных нумераторах ). Базисные нумераторы обладают свойствами:
1) их порождающие м ножества не имеют о бщих элементов:
;
2) логическая сумма базисных нумераторов составляет их универсум:
;
3) конечные разности нумераторов образуют стационарную ч/п:
.

Доказательство сводится к непосредственной проверки справедливости соответствующих
соотношений .
1. Выписываем для наглядности порождающие множества и анализируем их:
  1). = 
=
T
i
i
n e
1
) ( =





 + −






 −
T
T n
T
n ) 1 ( 1 1 ) 1 (
1 1
=






− +







 −
T
n
T
n   n N ) ( n s s
 
= ) ( n

 ...) , 1 ..., , 1 , 1 , 1 ( = 




 −
− = 
= T
n
T n n ie
T
i
i
1
) (
1 T = = + ) ( ) ( n a T n a + + + ... ) ( ) (
2 2 1 1
n e a n e a ) ( n e a
T T y x , } 1 , 0 {
2
= B xy y x y x − + =  xy y x =  x x − = 1 




 + − +






 − +
=
T
i T n
T
i T n
n e i
) 1 (
) ( T i , 1 = T ) ( n e
i ) , ( T n e
i • ) ( n
i
 ) 1 ( ) ( − + =  n T i n
i T i , 1 = 
T )} ( { n
i
 T i , 1 = ) ( n
i
 j i n rng n rng
j i
   =   ) ( ) (  ) ( n
i
 n n s = = ) (
 ...), ...,, , , ( ) ( ) ( )1 ( T T T T n d n i n i i = − +   = 


− + + + = 
− + + + = 
} ..., )1 ( ,..., 2 , , { ) (
} ..., )1 ( ,..., 2 , , { ) (
T n j T j T j j n rng
T n i T i T i i n rng
j
i j i 

American Scientific Journal № (2 9) / 2019 17

2. Учитывая биекцию между нумераторами и индикаторами для каждого универсума
, индикатор принимает значения, равные единице, как и для любого
, , благодар я периодич ности базисного индикатора.
3. Действительно:
.
Следствие: ��(�)/�= �∘(�)= (1,1,...) – универсум индикаторов.
3. Обобщенные арифметические прогрессии: общие понятия и специальный случай
Последовательность чисел называется обобщен ной ари фметической прогрессией (о. а. п.), если она
удовлетворяет функциональному уравнению [9] :
, (3.1)

где , , ; , .
Уравнение ( 3.1) является сужением функционального уравнения
; , , (3.2)
на множестве натуральных чисел. Решением ( 3.2) яв ляет ся сумма периодической и линейной функции [5]:
, (3.3)

где , .
На множестве
, (3.4)
где – целая часть числа (антье), .
Обозначается о. а. п. тройкой , число называется периодом ч/п, а –
разностью ч/п.
Если , получаем арифметическую прогрессию, если – периодическую
последовательность, а если , , то приходим к стационарной последо вательности.
Изучались простейшие по виду порождающих множеств о. а. п.: , то есть
преобразования множества натуральных чисел; такие последовательно сти названы натуральными.
У. а. п. полностью определяется заданием первых членов и разности :
�(�)= �[�−1
]+∑ �(�)��(�) �=1 . (3.5)
Теорема 3. 1 (о �−разложении ). Композиция о. а. п. и базисных нумераторов ,
(2.7) есть арифметиче ские прогрессии с первым членом и разностью .
Доказательство. Обозначим композицию о. а. п. с нумератором
через .
Привлечем в виде (3. 5), тогда:
.
Благодаря периодичности ч/п и свойству 10 антье имеем:
 , . (3.6) T i n , 1 = = n n s = ) (
 ) ( n
i
 T m i n ) 1 ( − + =   m N = − +   = ) ( ) 1 ( ) ( n
i
n
i i
n d T n T i Tn i = − − − + ) 1 (   n N • D n f T n f = − + ) ( ) (  n N  f rng N 0 ) ( ) 1 (  − + n f n f   T 1 N const D T − , D x f T x f = − + ) ( ) ( x  D T , R ) 1 ( ) ( ) ( − + = x r x a x f ) ( ) ( x a T x a = + const r − N   T n D n a n f / ) 1 ( ) ( ) ( −  + = ] [  ) ( ) ( n a T n a = + ) , ), ( ( D T n f T D 1 = T 0 = D 1 = T 0 = D : ) ( n f N → N T D ) ( n f ) ( n
i
 T i , 1 = ) ( i a D ) , ), ( ( D T n f ) 1 ( ) ( − + =  n T i n
i ) ( n f
i ) ( n f =  = ) )( ( ) ( n f n f
i
i
 




 − − +
 + − +
T
n T i
D n T i a
1 ) 1 (
)) 1 ( ( ) ( n a = ) ( n f
i ) ( i a ) 1 ( −  + n D ) , 1 ), ( ( D n f
i T i , 1 =

18 American Scientific Journal № ( 29 ) / 20 19
Кортеж арифметических прогрессий ( 3.6) назовем -разложением, или -разбиением, о. а. п.
.
Следствие. Логическая сумма элементов -разложения есть исходная о. а. п.:
. (3.7)
Каждой арифметической прогрессии отвечает возвратное уравнение второго порядка:
, , (3.8)
где – арифметическая прогрессия с первым членом .
Вывод: любая о. а. п. описывается кортежем уравнений ( 3.8).
Замечание:
1) универсум – арифметическая прогрессия , у которой первый член и разность равны
единице, – можна рассматривать как о. а. п., которая удовлетворяет функциональное уравнение

с произвольным натуральным , большим единице;
2) если период о. а. п., то и число , , есть ее период, а соответствующая разность
равна :
. (3. 9)
Переход от о. а. п. с периодом и разностью к ч/п с периодо м и разностью
называется -расширением исходной последовательности.
-Расширение о. а. п. тянет за собой -расширение соответствующих -базисов индикаторов ( 2.2)
и -базисов нумераторов ( 2.7):
, , 
 , ;
(3. 10)
, ,  ,
.
(3. 11)
Теоре ма 3. 2 (о замкнутости о. а. п.). Множество всех о. а. п. замкнута относительно операций
сложения ( ) и умножения на скаляр ( .).
Доказательство. Пусть заданы две последовательности: , , а
– их сумма. Покажем, что существуют такие числа и , что
. Най дем н аименьшее общее кратное периодов: , и
согласно (3. 8) возьмем , , тогда
, ,
откуда
. (3. 12) T T ) ( n f T = ) ( n f =
i
f )) 1 ( ( − + n D f
i • i
n
i
n
i
n
f f f − =
+ + 1 2
2 T i , 1 = ) ( n f
i i
f T n n s = ) (
 T n f T n f = − + ) ( ) ( T T mT  m N mD mD n f mT n f = − + ) ( ) ( T D mT mD m m m e
T 
T 




 + −






 −
=
T
i n
T
i n
T n e
i
) 1 (
) , ( T i , 1 = 




 + −






 −
=
mT
j n
mT
j n
mT n e j
) 1 (
) , ( mT j , 1 = ) 1 ( ) ( − + =  n T i n
i T i , 1 = ) 1 ( ) ( − + =  n mT j n
j mT j , 1 = + ) , ), ( (
i i i
D T n f 2 , 1 = i ) ( ) ( ) (
2 1
n f n f n f + = T D D n f T n f = − + ) ( ) ( ] , [
2 1
T T T = 1 2 1
D T m = 2 1 2
D T m = i i i i
T T D n f T n f / ) ( ) ( = − + 2 , 1 = i D T D T D T n f T n f = + = − + ) / / ( ) ( ) ( 2 2 1 1

American Scientific Journal № (2 9) / 2019 19

Пусть , и , тогда
– (3. 13)
о. а. п. с тем же периодом и разностью .
Следствие:
, , – (3. 14)

о. а. п. с периодом и разностью .
Таким обра зом, линей ная комбинация о. а. п. есть о. а. п.
Теорема 3. 3 (о возвратности о. а. п.). Любая о. а. п. является возвратной последовательностью
-го порядка.
Доказательство. Увеличим в уравнении (3.1) номер на единицу:
 .
Приравнивая левые части урав нений, получим возвратное уравнение [4]:
(3. 15)
с характеристическим уравнением
( ), или . (3. 16)
Корни (3. 16 ) такие:
( ),
.
(3. 17)
Уравнение (3. 17 ) не содержит параметр , поэтому при его решении необходимо учитывать
исходное функциональное ура внение.
Замечаем, что единица есть двукратный корень, тогда общий член последовательности следует искать
в виде [4]:
,
(3. 18)
где , , – константы, которые подлежат определению.

Формулу (3. 18) назовем тригонометрической
формою представления о. а. п.
Внедрение логических операций над
последовательностями в теорию чисел
осуществим, изучая специальные натуральные
о. а. п. с �∘(�)= � [3], о. а. п., у которых разность ��
– почти простое число – произведение
последовательных простых чисел от �1= 2 до
некоторого ��, �∈, а период �� – количество
чисел, которые взаимно простые с �� и не
превышают ��:

��(�+��)−��(�)= ��, (3.19)
где ��= �1�2...��, а период �� вычисляется с помощь т ак называемой функции Эйлера [2; 16 ],
которая обозначается через (•):
��= (��)= (�1−1)(�2−1)...(��−1), �0= �0= 1. (3.20)
Пр имер 3.1. Составить уравнение (3.19) при условии, что �= 3, записать общий член
последовательности и привести ее отрезок длиною �3.
Решение. Находим разность �3= �1�2�3= 2⋅3⋅5= 30 и период о. а. п.
�3= (�1−1)(�2−1)(�3−1)= 1⋅2⋅4= 8, тогда (3.18) примет вид:

�3(�+8)−�3(�)= 30 .
Общий член такой (см. (3.5)):
�3(�)= 30 [�−1
8]+∑ �3(�) 8�=1 ��(�,8).
  T n D n a n f / ) 1 ( ) ( ) ( − + = const c − ) ( ) ( n cf n f
c
=   T n D c n a c n f
c
/ ) 1 ( ) ( ) ( −  +  = T D c  ) ( ) ( ) (
2 2 1 1
n f c n f c n f + = const c c −
2 1
, T = D ) / / (
2 2 2 1 1 1
T D c T D c T + • ) 1 ( + T n D n f T n f = − + ) ( ) ( D n f T n f = + − + + ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( n f n f T n f T n f − + + + = + + n n n n
q q q q
T T
− + =
+ + + + 1 1 0  q 0 ) 1 )( 1 ( = − −
T
q q T T
T k
i
k
q q
k

 +

= = =
2
sin
2
cos 1 , 1 1 − = i 1 ..., , 1 , 0 − = T k • D 




 −   + −  + + − = 

=
)1 ( 2 sin )1 ( 2 cos )1 ( ) (
1
1
0 0 n T
k i n T
k B B n A n f
T
k k k
B A ,
0 1 ..., , 1 , 0 − = T k

20 American Scientific Journal № ( 29 ) / 20 19
Первое слагаемое в �3(�) на каждом
промежутке из натуральных чисел: [8�−7,8�], �=
1,2,3,..., определяет кусочно -постоянную функцию
со значениями (�−1)�3. На промежутке [1,8] –
нуль, на промежу тке [9,16 ] –30 , на промежутке
[17 ,24 ] – 60 и т. д. Второе слагаемое –
периодическая составляющая – 8-кортеж
натуральных чисел, взаимно простых с числом 30 .
Отрезок �3(�) длиною 8 имеет вид:
�3(�):1674112134172194236292…(3.21 )
где между элементами последовательности
приведены частичные разности, сумма которых
равна разности �3= 30 .
Дальше прибавлением к каждому элементу
первого периода числа 30 легко получить элементы
следующего периода .•
Теоремы о композиции дв ух о. а. п., о
функциональной замкнутости о. а. п., о логических
свойствах индикаторов, нумераторов и о. а. п., и
вместе с тем и последовательности ��(�) (как
отдельной о. а. п.) доказывается в монографии
автора [13].
Формула приведенных систем вычет ов по
почти простому модулю
Общий член числовой последовательности
��(�), представленной функциональным
уравнением (3.19), дает возможность для каждого �
записать последовательность приведенных систем
вычетов (ПСВ) по модулю ��, отталкивая сь от
унив ерсума �∘= �∘(�)= � как о. а. п. с периодом и
разностью, равными единице: �0= �0= 1, и
привлекая алгебру последовательностей [3; 13].
Кратко процесс построения ПСВ по модулю
��, �∈, выглядит так:

�∘(�)= �,
�1(�)= �∘(�) (�1�∘(�)),
�2(�)= �1(�) (�2�1(�)),
………………………………
��(�)= ��−1(�) (����−1(�)).
(3.22)

Напомним, что в (3.22) символ означает логическую разность, которая сводится к пересечению
первого операнда с � -дополнением второго :

�1(�) �2(�)= �1(�) ( �2(�)).

Равенства в (3.22) понимают так: чтобы найти
ПСВ для последующего �, нужно из
последовательности ��−1(�) исключить элементы,
которые не взаимно простые с ��, то есть члены
вида ����−1(�) – вычитаемые в каждом равенстве.
Установлено, что последовательность простых
чисел есть кусочная обобщенная
арифметическая прогрессия, составленная из
отрезков последовательностей ПСВ по почти
простому мо дулю. Последовательность всех
простых чисел описывается очень несложно й по
виду рекуррентной формулой:
��= ��−1(2) ∀�∈.
Аналитическое описание процесса решетирования по Эратосфену, или коротко – формула
Эратосфена имеет вид [6]:
��(�+��+∑ [1
�+1(�−�−(�̄0�(�)−�))] ��=1 +), �= 0,1,2,...,
где �̄0�(�)= (��+1��(�+�),��).
Приведем пройденный путь к изучению множества простых чисел :
�−алгебра → о. а. п. → ��(�)−ПСВ → (��∘��)(�).

Разработаны основы булевой алгебры
последовательностей – � -алгебры, найдено
функционально замкнутое множество
относительно логических операций – обобщенные
арифметические прогрессии (о. а. п.),
осуществлено аналитическое описание – ��(�) –
всех приведенных систем вычетов (ПСВ) по почти
простому модулю, выделены подпоследовательности
ПСВ с заданными свойствами: (��∘��)(�).
Предложенный алгебрологический подход к
изучению свойств натуральных во зрастающих
подпоследовательност ей ряда натуральных чисел
назван методом аналитического решета (МАР ).
Теоретической основой МАР является
последовательностная модель булевой алгебры – � -
алгебра.
Если просмотреть историю ариф метических
видоизменений решета Эратосфена, то увидим, что
пос ледовательности ПСВ по модулю ��, которые
описываются функцией ��(�), �= 1,2,3,..., и
которые являются источником для добывания
простых чисел, впитывают в себя, собственно,
решето Эратосфен а, ему отвечает �∘(�) –
натуральный ряд ( �0= 1), ( �1(�), �1= 2) – решето
Никомаха, ( �2(�), �2= 6) – решето Лейбница,
(�3(�), �3= 30 ) – решето Эйлера.
4. Аналитическое описание
последовательностипростых чисел -близнецов = + ) (1 n Ek

American Scientific Journal № (2 9) / 2019 21

Исследование множества простых чисел -
близнецов будем проводить , изучая пары
(��(�),��(�)) последовательности ПСВ по модулю
��, то есть пары из ПСВ ��(�), разность между
которыми равна двум: ��(�)−��(�)= 2.
Прежде всего, остановимся на функ ции
�(2)(��), которая устанавливает количество пар
чисел, взаимно простых с ��, разность между
которыми равна двум , и где первым элементом
пары является ��:
�(2)(��)= {�(��)= ��−1,если (2,��)≠ 1
�(��)= ��−2,если (2,��)= 1, (4. 1)
справедливость которой следует из свойства функции Эйлера [16]: (�)= �−1, � – любое простое
число .
Поскольку функция �(2)(��) мультипликативная, то
�(2)(��)= (�1−1)(�2−2)...(��−2)= ��, �∈, (4. 2)
где �� – краткое обозначение �(2)(��), и примем �0= �0= �0= 1.
Таким образом, приходим к ч/п ��(�), которая описывается функциональным уравнением:
��(�+��)−��(�)= ��, (4. 3)
где ��= �1�2...�� – разность о. а. п., �(2)(��) – ее период, �(2)(�)= (2)(�,��) – количество пар
чисел, взаимно простых с ��, разность между которыми равна двум и первый элемент пар ы равен �.
Арифметические прогрессии
���(�)= �+��(�−1), �= 1,��, (4. 4)
назовем базисными нумераторами о. а. п. (), а всю их совокупность -базисом нумераторов.
Общий член подается, как и для других о. а. п., в виде :
��(�)= �(�)+��⋅[�−1
��], (4.5)
где �(�) – периодическая составляющая: �(�+��)= �(�); �(�)= ��(�)∀�= 1,��.
Условие, которое накладывается на ��(�), сравнимо с ��(�), дает возможность описать ее инд икатор:
��(�)= {1,если �(��−1(�)+2)> �(��−1(�))
0,если �(��−1(�)+2)= �(��−1(�)). (4.6)
Покажем, что ��(�) – периодическая функция с периодом ��= ����−1.
Привлечем функцию Эйлера �(�)= (��,��), которая определяет количество натуральных чисел,
не превосходящих ��, и взаємно простих с ��.
Функция �(�) как о. а. п. описывается тройкой (�(�),��,��), то есть �(�+��)−�(�)= ��.
Поскольку ��−1(�+����−1)= ��−1(�)+����−1 ⏟
��
), то
��(�+����−1)= �(��−1(�+����−1)+2)−�(��−1(�+����−1))=
= �(��−1(�)+2+��)−�(��−1(�)+��)=
= �(��−1(�)+2)−�(��−1(�)).
И так,
��(�)  ��= ����−1= ��+2��−1. (4.7)
Соответствующие нумераторы ��(�) найдем по формулам обращения [13], у кот орых для
��(�): ��= ����−1, ��= ��:
, .
Сумму элементов ��(�):
∑ ��(�) ��=1 ,
для сокращения записи обозначим через �(��−1(�)).
Окончательно ��(�) запишется в виде:
��(�)= ∑ [1
��(�+��−1−�(��−1(�)))]+1 ����−1 �=1 . (4.8)
Теорема 4. 1 (о ��-разложении ). Композиции у. а. п. ��(�) и базисных нумераторов ���(�), �= 1,��
есть арифметические прогрессии с первым членом �(�) и р азно стью ��.
Доказательство. Обозначим композицию последовательности (��(�),��,��) с нумератором ���(�)=
�+��(�−1) через ���(�). = k =  +  − ) ( 1 k k k p n  
 
= =  















 + − = 
T
i
T
i j
j n T n
1
) ( 1
1
) ( 
=
=

 
T
j
j T
1
) ( ))) ( ( )2 ) ( ( ( 1 1 1 j j k k j k k
i
− = −   − +   = 

22 American Scientific Journal № ( 29 ) / 20 19
Привлечем ��(�) в виде (4.5) , тогда:
���(�)= (��∘���)(�)= �(�+��(�−1))+��⋅[�+��(�−1)−1
�� ].
Благодаря периодичности ч/п �(�) и свойству 10 антье (п. 2) имеем:
���(�)= �(�)+��⋅(�−1)  (���(�),1,��), �= 1,��, – (4.9)
кортеж арифметических прогрес сий – -разложение , или ��-разбиение , о. а. п. ��(�), которая описывает
последовательность первых элементов пар чисел -близнецов. •
Приведем далее для �= 1,2,3,4,5 разности �� и периоды �� (по соглашению �0= �0= �0= 1):
�1= 2, �1= 1; �2= 2⋅3= 6, �2= 1; �3= 2⋅3⋅5= 30 , �3= 3;
�4= 2⋅3⋅5⋅7= 210 , �4= 3⋅5= 15 ;
�5= 2⋅3⋅5⋅7⋅11 = 2310 , �5= 3⋅5⋅9= 135 .
В качестве �0(�) выступает универсум �∘(�)= �, �≠ 1, а все последующие общие члены
последовательно сти ��(�) определяются как композиции с соответствующими нумераторами ��(�):
��(�)= (��−1∘��)(�), а именно:
�0(�)= �∘(�)= �, �≠ 1,
�1(�)= �0(�1(�))= �1(�),
�2(�)= �1(�2(�)),
.............. ......................
��(�)= ��−1(��(�)).
Нумераторы подсчитываем по формуле (4. 8):
(�= 1, �1= 1): �1(�)= �0(�1(�))= �1(�)= 2�−1=
= (1,3,5,7,9,11 ,13 ,15 ,17 ,19 ,21 ,23 ,25 ,27 ,29 ,31 ,33 ,35 ,37 ,39 ,41 ,...).
Отсчет начинаем с подчеркнутой тройки. Единица не считается простым числом , поскольку в
противном случае целое число бесконечным способом раскладывалось бы на произведение простых чисел,
что не согласуется с основной теоремой арифметики [ 3].
(�= 2, �2= 1): �1(3�)= 6�−1=
= (5,11 ,17 ,23 ,29 ,35 ,41 ,47 ,53 ,59 ,65 ,71 ,77 ,83 ,89 ,95 ,101 ,...).
Таким образом, (�2= 6,�2= 1): �2(�)= 6�−1.
Как видим, для �1= �2= 1 получаем лишь по одной ар ифметической прогрессии.
(�= 3, �3= 3): �2(2�−[�+1
3]).
Три арифметические прогрессии опишем, если для значений � переберем все полные системы
вычетов по модулю три: �= 3�−2, �= 3�−1, �= 3�, � – натуральное число. При этом условии
нумераторы �3�,�= 1,�3, вы гляд ят так:
�3(�)= �+[�+2
3]+[�
3]= 2�−[�+1
3]  [
�31(�)= 5�−3,
�32(�)= 5�−2,
�33(�)= 5�,
�∈.
Заметим, что для каждого фиксированного � имеем � -й элемент каждого нумератора; а -
раз ложение имеет вид:
[
�2(5�−3)= �31(�)= 30 �−19 ,
�2(5�−2)= �32(�)= 30 �−13 ,
�2(5�)= �33(�)= 30 �−1,

то есть
(�3= 30 , �3= 3): [
�31= (11 ,41 ,71 ,101 ,131 ,161 ,191 ,...),
�32= (17 ,47 ,77 ,107 ,137 ,167 ,197 ,...),
�33= (29 ,59 ,89 ,119 ,149 ,179 ,209 ,...),

или
�3(�)= (11 ,17 ,29 ,41 ,47 ,59 ,71 ,77 ,89 ,
101 ,107 ,119 ,131 ,137 ,149 ,161 ,167 ,179 ,191 ,197 ,209 ,...) –
о. а. п. с частичными разностями: �1(�3)= 6,�2(�3)= 12 ,�3(�3)= 12 , сумма которых равна разности
�3(�): �3= 30 .
(�= 4, �4= 15 ): �4(�)= �+[�+10
15 ]+[�+4
15 ]+2([�+8
15 ]+[�+6
15 ]).
Как и в предыдущем случае переберем все полные системы вычетов, но уже по модулю 15: �= 15 �−
�, �= 0,14 , � – натуральное число, и о пишем нумераторы �4�,�= 1,�4. Для чего подставим в �4(�) вместо
номера выражение �= 15 �−� и снимем символ антье.
В результате, возвращаясь к обозначению номера члена буквой �, получаем:
=   =  )) ( ( ) ( 2 1 2 n n =   =  )) ( ( ) ( 3 2 3 n n =  ) (3 n =  ) (3 n k

American Scientific Journal № (2 9) / 2019 23

�4(�)= �+[�+10
15 ]+[�+4
15 ]+2([�+8
15 ]+[�+6
15 ]) 
[

�41= 21 �−20 ,
�42= 21 �−19 ,
......................
�415 = 21 �.

-разложение �4(�) имеет вид:
[

�3(21 �−20 )= �41(�)= 210 �−199 ,
�3(21 �−19 )= �42(�)= 210 �−193 ,
...................................................
�3(21 �)= �415(�)= 210 �−1,

(�4= 210 , �4= 15 ):
[

�41= (11 ,221 ,431 ,641 ,851 ,1061 ,1271 ,...),
�42= (17 ,227 ,437 ,647 ,857 ,1067 ,1277 ,...),
........................................
�415 = (20 9,419 ,629 ,839 ,1049 ,1259 ,1469 ,...).

Приведем первый период элементов �4(�) и частичные разности:
�4(�)= �3(�4(�))= (1161712291241185912713010 1610 730
13 71214 91816 71217 91219 1619 71220 91222 16227 ,...),

где первые частичные разности первого и второго
периода подчеркнуты; частичные разности всего
периода (их 15) в сумме дают разность о. а. п. ��(�):
�4= 210 .
Пошаговый процесс – �= 1,2,3,4,... –
получения о. а. п ��(�) является аналитич еским
решетом последовательности ПСВ по модулю ��,
который постепенно пропускает лишнее – очищает
от ”примесей”, – оставляя основное – пары -
близнецы (��(�),��(�)).
Подобьем итоги проведенного исследования.
Теорема 4. 2 (о мощности множества
простых чисел -близнецов ). Множество простых
чисел -близнецов счетное.
Доказательство. Предположим, что в процессе
аналитического решета после некоторого �= �0 не
осталось ни одной простой пары (��(�),��(�)), то
есть для всех �> �0 членами последовательности
��(�) будут составные числа. Но это противоречит
теореме Лежен -Дирихле [ 14], согласно которой
арифметическая прогрессия ��-разложения о. а. п.
��(�) содержит бесконечно много простых чисел,
ведь ��)= 1. Итак, предположение о
конечности множества простых чисел -близнецов
ложное, что и доказывает теорему. •
Числа -близнецы ”ходят” рядом и первое из них
для каждого значения � не должно превышать
��+12 −4, так как пара (��+12 −2,��+12 ) не является
парой близнецов; поэтому
��(�)∈[��+1,⥂ ��+12 −4⥂].
Обозначим множество первых элемен тов пар
через �1 и запишем кортежи первых элементов пар
простых близнецов (в каждой ч/п ��(�) числа
��+1(�) и ��+12 (�) подчеркнуты ):
�= 1: �1(�)= (1,3,5,7,9,...)  �1, ведь ;
�= 2: �2(�)= (5,11 ,17 ,23 ,25 29 ,...)  �1, ведь 52−4= 21 ;
�= 3: ( 711 ,17 ,29 ,41 ,47 ,4959 ,...) 
 �1, ведь 72−4= 45 ;
�= 4: �4(�)= (11 ,17 ,29 ,41 ,59 ,71 ,101 ,107 ,121 137 ,...) 
 �1, поскольку 112−4= 117 ; … .

С другой стороны, в процессе такого решета на
каждом следующем шаг е получаем конечное
множество простых чисел -бли знецов, но
количество их увеличивается, так как ��+22 −4>
��+12 −4. При неограниченном возрастании �
приходим к счетному множеству конечных
множеств , то есть к счетному множеству. Как и
последователь ность простых чисел, ч/п ��(�)
кусочно -возвратная.
Другое описание о. а. п. ��(�) получим, если
отталкиваться не от композиций
��(�)= ��−1(��(�)), а от композиций
��(�)= ��(��(�)).
Тогда
��(�)= ∑ [1
��(�+��−1−�(��(�)))]+1 ��=1 , (4. 10)
где �(��(�))= ∑ ��(�) ��=1 , ��(�)= �(��−1(�)+2)−�(��−1(�)).
=  ) (4 n ), ( ( n k )5,3( ) 17, 11,5( =  ) (3 n ) 41, 29, 17, 11( ) 107, 101, 71, 59, 41, 29, 17, 11( k =  ) (4 n 5 4 32 = −

24 American Scientific Journal № ( 29 ) / 20 19
Кроме того, МАР можно реализовать,
отталкиваясь от ��(�) не только в алге браи ческой ,
но и в тригонометрической форме [13 ]. Более того,
исходя из форм �2∓(�)= 6�∓1, которые содержат
все числа -близнецы, кроме (3, 5):

�2−= (5,11 ,17 ,23 ,29 ,⥂⥂ 35 ,41 ,47 ,53 ,59 ,65 ,71 ,77 ,83 ,89 ,95 ,...),
�2+= (7,13 ,19 ,25 ,31 ,⥂⥂ 37 ,43 ,49 ,55 ,61 ,67 ,73 ,79 ,85 ,91 ,97 ,...), (4.11)

где подчеркнуты элементы ПСВ �2(�), которые не
составляют пару близнецов .
На первом шаге исключаем из �2∓(�) в (4.11)
пары -столбцы, которые содержат числа, кратные
пяти. Для этого решаем лин ейные диофантовы
уравнения �2−(�)= 5�, �2+(�)= 5�:

6�−1= 5�  (�= 5�−4, �= 6�−5);
6�+1= 5�  (�= 5�−1, �= 6�−1), �∈. (4.12)

Таким образом, исключаются элементы с
номерами, которые составляют о. а. п. с разностью
�= 5 и периодом
�= 2: �̄3∓(�)= (1,4,6,9,11 ,14 ,16 ,...),
где через �̄3∓(�) обозначена инверсия
нумератора формы �3∓(�).
Если предположить, что последовательность
близнецов конечна, то вступаем в противоречие с
теоремой Лежен -Дирихле. Действительно,
относит ельно пар �2−, �2+ (4.11) возможны случаи:
оба элемента пары кратные некоторому простому
числу, один элемент – простое число, второй –
составное, и оба элемента – простые числа. Если на
некотором шаге близнецы закончатся, то это будет
означать, ч то арифметические прогре ссии, у
которых первый член и разность, взаимно простые
числа, содержат конечное множество простых
чисел , что невозможно. Вывод: множество простых
чисел -близнецов счетное.

Список литературы:
1. Биркгоф Г. Теория структур / Г. Биркг оф ;
перевод с английского М. И. Граева. – Москва : ИЛ,
1952. – 408 с.
2. Бухштаб А. А. Теория чисел / А. А.
Бухштаб. – Москва : Учпедгиз, 1939. – 376 с.
3. Гельфонд А. О. Элементарные методы в
аналитической теории чисел / А. О. Гельфонд, Ю.
В. Линник. – Москва : Физматгиз, 1962. – 272 с.
4. Маркушевич А. И. Возвратные
последовательности / А. И. Маркушевич. – 2-е
издание. – Москва : Наука, 1975. – 48 с.
5. Пелюх Г. П. Введение в теорию
функциональных уравнений / Г. П. Пелюх, А. Н.
Шарковский. – Київ : Науко ва думка, 1974. – 120 с.
6. Полиа Г. Задачи и теоремы из анализа / Г.
Полиа, Г. Сеге ; перевод с нем. Д. А. Райкова. –
Москва : Наука, 1978. Часть 2. – 432 с.
7. Рвачев В. Л. Теория R -функций и некоторые
ее приложения / В. Л. Рвачев. – Киев : Наукова
думка , 1982. – 552 с.
8. Сенчуков В. Ф. Последовательностная
модель булевой алгебры / В. Ф. Сенчуков // Докл.
АН УССР. Сер. А. – 1988 . – № 2. – С. 19 –20.
9. Сенчуков В. Ф. Логические операции над
последовательностями и закон простых чисел / В.
Ф. Сенчуков // Д окл. АН УССР. Сер. А. – 1988. – №
6. – С. 20 –23.
10. Сенчуков В. Ф. Логические свойства
обобщенных арифметических прогрессий / В. Ф.
Сенчуков // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1988. – №8.
– С. 16 –19.
11. Сенчуков В. Ф. О последовательностной
модели алгебры коне чнозначной логики / В. Ф.
Сенчуков // Республіканський міжвід омчий
збірник, Математичні методи і фізико -механічні
поля, вип. 32, Наукова думка, Київ, – 1990. – С. 14 –
17.
12. Сенчуков В. Ф. Булева алгебра
последовательностей и обобщенные
арифметические прог рессии / В. Ф. Сенчуков //
Депоновано в УкрНІІНТІ № 1951 -Ук 86,
Харківський інж. -ек. і н-т, Харків, – 1986. – 33 с.
13. Сенчуков В. Ф. Цілочислові сітки:
побудова та застосування: монографія.
Електронний ресурс] / В. Ф. Сенчуков. – Харків:
ХНЕУ ім. С. Кузне ця, 2017. – 248 с. – Режим
доступу:
http://repository.hneu.edu.ua/handle/123456789/1955
4.
14. Трост Э. Простые числа / Э. Трост ; перевод
с нем. Н. И. Фельдмана под ред. А. О. Гельфонда. –
Москва : ГИФМЛ, 1959. – 136 с.
15. Виленкин Н. Я. Математический ана лиз.
Введение в анализ / Н. Я. Виленк ин, А. Г.
Мордкович. – Москва : Просвещение, 1983. – 194 с.
16. Виноградов И. М. Основы тео рии чисел / И.
М. Виноградов. – Москва : Наука, 1981. – 176 с.