Американский Научный Журнал ОСНОВНОЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В РЯДУ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

126 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
О С Н О В Н О Й З А К О Н Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я П Р О С Т Ы Х Ч И С Е Л В Р Я Д У
Н А Т У Р А Л Ь Н Ы Х Ч И С Е Л

Мазуркин П.М.
Д-р техн. наук, проф., акад. РАЕ и РАЕН, член Европейской Академии Естествознания,
Поволжский государственный технологический университет, г. Йошкар -Ола,
E-mail: kaf_po@mail.ru

Рассмотрен ряд натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, …, 1024 после их разложения в двоичной системе
счисления. Частными случаями этого ряда являются составные, четные и нечетные числа, а последние
делятся на простые числа и составные нечетные числа. Сравнение этих рядов выполнено по общей фор-
муле распределения двои чных чисел для всех 9 разрядов системы двоичного счисления. Показано, что
сдвиг колебания двоичного числа различен для разновидностей натуральных чисел. Доказано, что дей-
ствительный корень дзэта -функции Римана 1/2 существует для любого ряда чисел, составле нных из ряда
натуральных чисел.
В пределе при повышении мощности рядов из действительного корня вычитается синусоида (для ря-
дов нечетных, простых и нечетных составных чисел) и функция косинуса (для рядов натуральных, состав-
ных и целых чисел), амплитуда ко торых также равна 1/2, а полупериодом тригонометрической функции
являются два числа: 1 – для рядов натуральных и составных натуральных чисел; 2 – для рядов нечетных
натуральных, простых, составных нечетных и четных чисел. При этом под функциями синуса и ко синуса
разновидности рядов из натуральных чисел расположены на критических линиях Римана таким образом:
а) на нулевой вертикали двоичного разложения рядов натуральных и составных чисел значение ࡮; б) на
первой вертикали двоичного разложения рядов нечетных , простых, составных нечетных и целых нату-
ральных чисел ࡮ʆϺ.
Ключевые слова : натуральные числа, простые числа, другие разновидности, двоичная система счис-
ления, разложение рядов, закономерности, сравнение, критичная линия, корень 1/2

1. Введение . Развитие элементарной матема-
тики в Западной Европе в начале XVII века притор-
маживается и центр тяжести математических инте-
ресов переносится в область математики перемен-
ных величин [2, с.33]. У Виета представление о
тригонометрических функциях с аргументом от 0
до +с возникает чуть ранее в XVI веке. Традици-
онный ряд про стых чисел, с «легкой» руки Гаусса,
начинается с цифры 2, хотя в 15 лет ему подарили
таблицу простых чисел, начинающихся с цифры 1.
Таким образом, двоичная система счисления 0
и 1 напрочь были отрезана от ряда простых чисел.
Для тригонометрического предст авления от 0 до
+с разложения натуральных и простых чисел в
двоичной системе счисления [] мы принимаем пол-
ный ряд простых чисел 0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
и тем самым появляется возможность выявления и
анализа основного закона распределения простых
чи сел относительно натуральных чисел. Забегая
вперед, скажем, что основной закон плотности рас-
пределения характеризуется точнее не по десятич-
ным разрядам, и даже не по двоичным разрядам, а
по самому ряду простых чисел.
2. Мощность ряда простых чисел обознача-
ется, как известно, символом ࡮(ߚ), где ߚ – заданное
натуральное число, в частном случае, как нам пред-
ставляется, это может быть какое -то простое число.
Закон распределения простых чисел в ряду нату-
ральных чисел до сих пор определяется среди деся-
тичных р азрядов Ϲϸ ౢ, где ߋ – разряд любой системы
счисления. Кроме десятичной, нами принимается
двоичная система счисления Ϻౢ. Оказалось, что дво-
ичная система счисления более удобна для анализа
рядов простых чисел, так как имеет всего два кода
0 и 1. Тогда полу чается, что основная теорема рас-
пределения простых чисел рассматривает мощ-
ность ряда простых чисел относительно мощности
ряда натуральных чисел в последовательности 10,
100, 1000, ….
Нам стало понятно, что мощность ряда про-
стых чисел можно рассматривать о тносительно
трех вариантов рядов при изменении разряда си-
стем счисления −с ≤ ߋ≤ +с, при этом конечные
ряды имеют разряды ߋ≤ ߏ: 1) относительно ряда
натуральных чисел по десятичным разрядам 0 (при
условии ߋע −с), 1, 10, 100, …, Ϲϸ ౢ (существую-
щий закон распр еделения ࡮(ߚ) рассматривает
только Гауссов ряд простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 17,
… относительно десятичной системы 10, 100 1000,
…); 2) относительно последнего в ряду простого
числа ߚ; 3) относительно блоков двоичной системы
счисления натуральных чисел 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,
Ϻౢ.
Тогда получаем три разных параметра средней
плотности распределения простых чисел среди
натуральных чисел ޶ как отношение ࡮(ߚ)ʆߚ: 1) ߚි
Ϲϸ ౢ; 2) ߚි ޸ౣெ౧, где ޸ – простое число 0, 1, 2, 3, 5,
7, 11, …, ޸ౣ, …, ޸౧; 3) ߚි Ϻౢ. Обозначим среднюю
плотность символом η. Тогда получим для трех слу-
чаев закона: для десятичных разрядов натуральных
чисел ࡥ஻஺ ි ࡮(Ϲϸ ౢ)ʆϹϸ ౢ; для простых чисел η ි
࡮(޸౧)ʆ޸౧; для двоичных разрядов натуральных чи-
сел ࡥ஼ි ࡮(Ϻౢ)ʆϺౢ. Для положительных рядов про-
стых чисел принимаем разряды ߋි
ϸɧϹɧϺɧϻɧϼɧϽɧɫɧߏ.
3. Ряд простых чисел в аналитической тео-
рии чисел . Л. Эйлер впервые привлек (1737, 1748,
1749 годы) для изучения простых чисел дзэта -

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 127
функцию, чем положил начало аналитической тео-
рии чисел [2, с.57].
Л. Эйлер был первым из математиков, кто стал
создавать общие методы и применять другие раз-
делы математики, в частности математический ана-
лиз, к решению задач аналитической теории про-
стых чисел . Дзэта -функция была введе на в 1737
году Л. Эйлером как функция вещественной пере-
менной. Затем эта функция рассматривалась Дири-
хле и, особенно успешно, Чебышёвым при изуче-
нии закона распределения простых чисел . Однако
наиболее глубокие свойства дзета -функции были
обнаружены позднее , после работы Римана (1859),
где дзета -функция рассматривалась как функция
комплексного переменного.
4. Теория функций в действительной обла-
сти . В период увлечения теорией функций ком-
плексного переменного крупнейшим представите-
лем интереса к к конкретным вопросам теории
функций в действительной области является
П.Л. Чебышев [6]. Наиболее ярким выражением
этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854
года) Чебышёвым, исходя из запросов теории меха-
низмов, теория наилучших приближений [2, с.72].
Затем П.Л. Чебышёв получает (1848, 1850) основ-
ные результаты о плотности расположения в
натуральном ряде простых чисел , до этого Дири-
хле доказывает (1837) теорему о существовании
бесконечного числа простых чисел в арифметиче-
ских прогрессиях [2, с.73].
Из многочисле нных открытий Чебышёва надо
упомянуть, прежде всего, работы по теории чисел.
Начало их положено в прибавлениях к докторской
диссертации Чебышёва «Теория сравнений», напе-
чатанной в 1849 году [6].
Число простых чисел, не превышающих задан-
ного натурального ߚ, обозначается символом π(ߚ).
Конечно, некоторые значения этой функции π(ߚ)
можно точно установить по таблице простых чисел.
После Евклида (III век до н.э.), доказавшего изящ-
ным строгим рассуждением, что в последователь-
ности простых чисел нет наибольшего, стало яс-
ным, что π(ߚ) неограниченно возрастает с возраста-
нием ߚ , но по какому же закону?
Век следовал за веком, и только Чебышёву
удалось первым «прорубить окно» в таинственную
и казавшуюся неприступной область теории рас-
пределения простых чисел. С большим остроумием
и глубиной анализа он доказал, что при достаточно
больших значениях ߚ истинное значение π( ߚ) нахо-
дится по неравенству Чебышева
(http://math4school.ru/chebyshev.html )
ϸɪЁϺ ߚʆߎߐߚ < ࡮(ߚ)< ϹɪϸϾ ߚʆߎߐߚ . (1)
Изучая таблицу простых чисел, можно заме-
тить, что с увеличением x, так называемая «средняя
плотность» простых чисел на отрезке натуральных
чисел от 1 до x, убывает. Первый существенный
вклад в решение проблем, связанных с р аспределе-
нием простых чисел, внес П.Л. Чебышев. Из его
двух знаменитых мемуаров 1848 и 1852 годов берут
своё начало «элементарные методы» теории рас-
пределения простых чисел, т.е. методы, не исполь-
зующие теорию функций комплексного перемен-
ного. Отметим, что в 1949 году А. Сельберг, допол-
нив идеи Чебышева собственными
принципиальными соображениями, нашел доказа-
тельство асимптотического закона распределения
простых чисел, не используя, подобно Адамару и
Валле -Пуссену, теорию функций комплексного пе-
ременного. Э то было мировой сенсацией в матема-
тике, так как многие известные математики счи-
тали, что это невозможно! [3].
5. Элементарные методы анализа размеще-
ния и распределения простых чисел. В данной
статье мы будем рассматривать закономерности
распределения прост ых чисел среди натуральных
чисел. Это как бы взгляд со стороны на два этих
ряда. Для генерации простых чисел необходимо
выявлять закономерности размещения простых
чисел в ряду натуральных чисел, то есть нужен
взгляд изнутри этих рядов. Вопросы размещения
более сложны по сравнения с задачами распределе-
ния, поэтому теория размещения будет изложена в
других наших статьях.
В десятичной системе счисления, как известно,
многи е математические функции «работают»
только в первом положительном тригонометриче-
ском квадранте. Комплексная плоскость может рас-
сматривать функции во всех четырех тригономет-
рических квадрантах. Однако для ряда простых чи-
сел 0, 1,2, 3, 5, 7, … с положительны ми числами
достаточно рассмотреть только положительную по-
луось абсцисс. Поэтому дзэта -функция Римана в
комплексных переменных становится функцио-
нально избыточной.
Долгое время не удавалось получить доказа-
тельства закона распределения простых чисел без
при менения методов теории функций комплекс-
ного переменного, первые доказательства (Ж. Ада-
мар, Ш. Валле -Пуссен) применяли эти методы.
Многие математики (А.Э. Ингам, Г. Харди и др.)
даже считали, что элементарного доказательства не
может существовать. Первое по лностью элементар-
ное доказательство было получено в 1946 г. А.
Сельбергом и П. Эрдёшом [1, с.78].
6. Основная теорема о плотности простых
чисел в десятичной системе счисления . В статье
[23] опубликована существующая версия этой ос-
новной теоремы (табл. 1).

128 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
Таблица 1
Распределение простых чисел среди десятичных разрядов натуральных чисел [29]

Логарифмические функции распространены
чрезвычайно широко как в математике, так и в есте-
ственных науках. Часто логарифмы появляются
там, где проявляется самоподобие , то есть некото-
рый объект последовательно воспроизводится в
уменьшенном или увеличенном мас штабе (фрак-
талы Мандельброта). Поэтому ученые схватились
за логарифм простых чисел, считая в теории чисел
вполне возможными утверждения: 1) число про-
стых чисел в интервале от 1 до ߚ приблизительно
равно ߚʆĔĖߚ; при этом считается, что ߍ–е простое
число генерируется приблизительно равным ߍߎߐߍ .
7. Критика применения натурального лога-
рифма . Гаусс, Риман и за ними другие математики
увлеклись относительной мощностью
ряда простых чисел без 0 и 1. Но, как мы поняли в
своих публикациях [4, 5, 7 -16], нужно перейти на
двоичную систему счисления. Таким образом чело-
век считает в десятичной, а природа – в двоичной
системе счисления. В итоге непонятные математи-
кам свойства, наприм ер, прыжки простых чисел в
некоторых местах ряда, оказались просто на грани-
цах блоков двоичного счисления.
По -видимому, неосознанно, этот показатель
относительной мощности ряда простых чисел
был логарифмирован с иррациональным
основа нием . Здесь сказалась юность и
талант Гаусса. Однако, тем самым, при переходе от
степени десяти к его натуральному логарифму, про-
изошла так называемая ложная идентификация.
Она и стала главной ошибкой в анализе простых чи-
сел, когда Г аусс перешел от самого ряда к встреча-
емости простых чисел по разрядам десятичной си-
стемы счисления.
Математики приняли закон простых чисел ,
что ~ .
Мы отказались от применения натурального
логарифма от 10. Затем перешли к двоичной си-
стеме счисления [4]. Оказалось, что традиционный
ряд простых чисел является недостаточно коррект-
ным по началу 0 и 1. Эта некорректность заметней
после отсечения так называемого прироста от са-
мого простого числа [16]. Главным недостатк ом яв-
ляется то, что нет отрицательной полуоси. Поэтому
гауссов ряд простых чисел оказался асимметрич-
ным, расположенным вне начала положительной
полуоси натуральных чисел. А это ограничивает
применение функционального анализа суммой три-
гонометрических функц ий в виде асимметричных
вейвлет -сигналов.
8. Пример ряда простых чисел из миллиона
натуральных чисел. Мы принимаем простые
числа по [21] как полный набор из ряда целых чисел
[4, 5]. В статье рассмотрим только положительные
простые числа, включая 0 и 1.
Дл я статистического моделирования [17 -20]
принят набор из 10 6 натуральных чисел, содержа-
щий 78500 (с учетом 0 как особого числа 78499 + 1)
простых чисел (табл. 2). Здесь ߌ – ранг простого
числа, причем номер простого числа будет равен
ߐි ߌ+Ϲ. При этом видн о, что двоичная и десятич-
ная системы счисления совпадают только на пер-
вых двух строках таблицы 2, то есть при простых
числах 0 и 1. Ранг простого числа вполне может
иметь функциональный смысл в законе распределе-
ния простых чисел относительно самого ряда,
кроме того, он используется для подсчета значений
мощности рядов ࡮(ߚ) в программной среде Excel -
2016.
Исходя из позиционности начала десятичной
системы счисления 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (пять
простых чисел выделены) из таблицы 1 также по-
нятно, что разряд ߋි ϸ при Ϲϸ ஺ි Ϲ как бы погло-
щается при разряде ߋි Ϲ и Ϲϸ ஻ි Ϲϸ .
В таблице 2 даны результаты подсчетов коли-
чества простых чисел по мере возрастания разрядов
двоичной и десятичной си стемы счисления. А для
вычисления средней плотности η распределения
простых чисел в самом ряду простых чисел ޸ౣ по-
лучаем при ࡮෱޸ౣ෵ි ߌ+Ϲ формулу
ηි (ߌ+Ϲ)ʆ޸ౣ. (2)
Формулу (2) удобно применять около границы
системы счисления. Например, из данных табли цы ) ( / x x  ) ( / x x  ... 71,2e ) (x  x x ln/

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 129
1 видно, что для десятичной системы счисления
вместо блокового числа 100 можно взять простое
число 97, а вместо блокового числа 1000000 брать
число 999983. Аналогично для двоичной системы
счисления вместо блокового числа 128 лучше всего
взять простое чи сло 127. Поэтому формула (2) яв-
ляется законом.
Таблица 2
Ряд простых чисел из 10 6 натуральных чисел
Двоичная система Десятичная система Простые числа

−с 0 −с 0 0 0
0 1 0 1 1 1
1 2 2 2
2 4 3 3
4 5
3 8 1 10 5 7
6 11
4 16 7 13
8 17
… … … … … …
25 89
2 100 26 97
27 101
28 103
29 107
30 109
31 113
7 128 32 127
33 131
… … … … … …
78498 999979
6 10 6 78499 999983

Однако для сравнения с известной формулой
закона распределения простых чисел среди нату-
ральных чисел в десятичной системе счисления
придется рассмотреть все три варианта.
9. Закон распределения средней плотности
простых чисел по десятичным разрядам . В таб-
лице 2 приведены результаты подсчетов. При этом
видно, что при условии ߋි −с получаем для деся-
тичных разрядов натуральных чисел ࡥ஻஺ ි ࡮(Ϲϸ ౢ)ʆ
Ϲϸ ౢ или ࡥ஻஺ ි (ߌ+Ϲ)ʆϹϸ ౢ деление на 0. Поэтому
при моделировании исключаем первую строку, что
означает при нятие положительной оси разрядов ߋි
ϸɧϹɧϺɧϻɧϼɧɫɧߏ ි Ͼ.
Сравнение с данными таблицы показывает, что
средняя плотность в таблице 2 возрастает при ма-
лых значениях десятичного разряда до ߋි ϼ. Со
значения до ߋි Ͼ при записи средней плотности с
четырьмя з наками после разделителя принимаем
значения плотности из таблицы 1. При этом добав-
ляем к значению из таблицы 1 цифру 2 и результаты
записываем в таблицу 3.
Таблица 3
Средняя плотность полного ряда простых чисел по разрядам десятич ной системы счисления
Десятичная
система Ко -во
простых
чисел
Средняя
плотность
ࡥ஻஺
Формула ( 4)
тренда
Тренд с двумя
волнами (5)
остаток ࡣ погреш.
хɧЮ
остаток

погрешность
хɧЮ
−с 0 1 с - - - -
0 1 2 2 0 0.00 0 0.00
1 10 6 0.6 0.028975 4.83 3.45171e -6 0.00
2 100 27 0.27 -0.04124 -15.28 -2.08919e -5 -0.01
3 1000 170 0.17 -0.02195 -12.91 8.30967e -5 0.05
4 10000 1231 0.1231 -0.00336 -2.73 -0.000162336 -0.13
5 10 5 9594 0.09594 0.008959 9.34 5.41529e -5 0.06
6 10 6 78500 0.0785 0.016783 21.38 0.000199039 0.25
8 10 8 5761457 0.0570 0.023778 41.72 -0.000347652 -0.61
10 10 10 455052513 0.0455 0.026436 58.10 0.000158705 0.35
12 10 12 37607912020 0.0377 0.026244 69.61 0.000125437 0.33
14 10 14 3204941750804 0.0320 0.024867 77.71 -0.000100194 -0.31 i i2 i i 10 j jP 1j i i 10

130 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
В таблице 3 приняты следующие условные
обозначения:
ࡣ – абсолютная погрешность вывяленной иден-
тификацией формулы, разница между фактиче-
скими ߛ๢ и расчетными ߛ значениями показателя,
остаток от найденной формулы, ࡣි ߛ๢−ߛ;
х – относительная погрешность вывяленной
формулы, равная х ි Ϲϸϸ ࡣʆߛ๢, при этом максималь-
ная относительная погрешность х౦ౚ౱ в таблице 3
выделена полужирным шрифтом.
При испол ьзовании десятичного логарифма
для разрядов ߋ≥ ϸ получаем структуру вида
ࡥ஻஺ ි (ߌ+Ϲ)ʆϹϸ ౢ = f (lgϹϸ ౢ)ි ߈(ߋ). (3)
После структурно -параметрической иденти-
фикации [] была получена формула тренда
ࡥ஻஺ ි ϺčĠĘ (−ϹɪϺϽϻϼϾЁϻ ߋ஺ɪிீ௃ீ஼௃஼ ). (4)
С увеличением разряда десятичной системы
счисления относительная погрешность модели (4)
возрастает и на уровне ߋි Ϲϼ достигает 77.71%
(рис. 1).
График закономерности (4) Остатки от модели (4)
Рис. 1. Графики изменения средне й плотности распределения простых чисел по тренду (4)

Из чередования знаков остатков и погрешно-
сти замечаем, что дополнительно к тренду нужна
волновая составляющая. При ߋි ϸ остатки равны
также 0, поэтому для идентификации используе м
конечномерный вейвлет с переменными амплиту-
дой и полупериодом колебания [].
После идентификации получена (рис. 2) фор-
мула с двумя колебаниями средней плотности рас-
пределения простых чисел в натуральных числах
по разрядам десятичной системы счисления
ࡥ஻஺ ි ࡥ஻+ ࡥ஼+ ࡥ஽, (5)
ࡥ஻ි Ϻ čĠĘ (−ϹɪϺϽ фߋ),
ࡥ஼ි
Ϻ ߋ஻ɪ஼஻஼ூா஽ீ čĠĘ (−ϹɪЀϸϼЀϿϸ ߋ஺ɪு஽஽ீ௃ீ஽ )ċėě (࡮ߋʆ(Ϲ+
ϹɪϹϸϿϼЀϹ ߋ஻ɪ஺ுா஻ி஽ி )),
ࡥ஽ි ϸɪϸϸϸϾϾϸϸЀϾ ߋ஻ɪ஻ிி஽ூீ ċėě (࡮ߋʆ
(ϸɪϹϻϼЀϻϹϼ +ϸɪϹϹϼϺЁϼϻ ߋ)),
с максимальной относительной погрешностью
0.61%.
Первое колебание средней плотности = Второе колебание средней плотности =
= = График закономерности (5) = Остатки от модели (5) =
Рис. 2. Графики изменения средней плотности волнового распределения простых чисел

В формуле (5) тренд получил фундаменталь-
ные постоянные. В первой волне возмущения, ха-
рактерной для начала ряда от 0 до 10 6, начальный
параметр амплитуды получил число 2, а полупе-
риод колебания при ߋි ϸ равен 1. Второе колеба-
ние остатков происходит с возрастающей амплиту-
дой и нарастающим полупериодом колебания.
Именно третья составляющая вводит неопределен-
ность в закон распределения простых чисел по де-
сятичным разрядам. S = 0 .0 2 5 7 4 8 6 6
r = 0 . 9 9 91 16 9 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 2.6 5.1 7.7 10 .3 12 .8 15 .4
0 .0 0
0 .3 7
0 .7 3
1 .1 0
1 .4 7
1 .8 3
2 .2 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 2.6 5.1 7.7 10 .3 12 .8 15 .4 -0 .05
-0 .03
-0 .02
-0 .01
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 4 S = 0 .0 2 18 4 0 7 3
r = 0 . 6 7 35 5 9 8 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 2.6 5.1 7.7 10 .3 12 .8 15 .4 -0 .05
-0 .03
-0 .02
-0 .01
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 4 S = 0 .0 0 0 7 2 4 8 3
r = 0 . 9 9 59 7 2 4 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 2.6 5.1 7.7 10 .3 12 .8 15 .4 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 1
0 .0 1
0 .0 1
0 .0 2 S = 0 .0 0 0 0 0 0 0 0
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 2.6 5.1 7.7 10 .3 12 .8 15 .4
0 .0 0
0 .3 7
0 .7 3
1 .1 0
1 .4 7
1 .8 3
2 .2 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 2.6 5.1 7.7 10 .3 12 .8 15 .4 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 131
Далее как альтернативу рассмотрим распреде-
ление простых чисел в двоичной системе.
10. Закон распределения средней плотности
простых чисел по двоичным разрядам. С истема
счисления дает меньшую разницу между простым
числом и границами блоков натуральных чисел Ϻౢ.
Для положительного ряда простых чисел прини-
маем р азряды по рангам ߋි ϸɧϹɧϺɧϻɧϼɧϽɧɫɧߏ. Для
10 7 ޶ получаем 24 блока натуральных и простых
чисел (табл. 4).

Таблица 4 . Ряд простых чисел по разрядам 2 =
Двоичная =
система = Ко -во =
чисел =
=
Простое =
число =
=
Средняя плотность =
ࡥ஼ Ϻౢ
−с ¶ · ¶ с
¶ · ¸ · ¸
· ¸ ¹ ¸ 1.»
¸ º º ¹ ·
¹ ¾ ¼ ½ 0.75
º 16 ¾ 13 0.»
» 32 13 31 0.4062»
¼ 64 20 61 0.3125
½ 12¾ 33 12½ 0.2578·
¾ 25¼ 56 25· 0.2187»
¿ 51¸ 99 50¿ 0.1933¼
10 1024 17º 1021 0.1699¸
11 2048 31· 2053 0.1518¼
12 4096 56¼ 4093 0.1381¾
13 8192 1030 8191 0.1257¹
14 1638º 1902 1638· 0.1160¿
15 3276¾ 3514 3274¿ 0.1072º
16 6553¼ 6544 6552· 0.099854
17 131072 1225¹ 131071 0.093483
18 262144 2300¸ 262139 0.087746
19 524288 4339¸ 524287 0.082764
20 104857¼ 8202½ 104857¹ 0.078227
21 209715¸ 155613 209714¹ 0.074202
22 419430º 308550 419430· 0.073564
23 838860¾ 601255 838859¹ 0.071675
Для двоичных разрядов натуральных чисел по-
лучаем формулу
ࡥ஼ි ࡮(Ϻౢ)ʆϺౢ ි (ߌ+Ϲ) ʆ Ϻౢ. (6)
Ряд чисел по двоичным блокам размещается
более плавно, особенно в начале ряда. При этом
первые две строки с простыми числами 0 и 1 совпа-
дают с таблицей 3 по блокам десятичного счисле-
ния.
Тогда принцип группировки по блокам ясен: за
основание блока принимается числа 10 или 2. Мо-
жет оказаться, что возможны и другие варианты.
Главное требование, чтобы границы блоков неда-
леко отстояли от ближайшего простого числа.
После идентификации поданным из таблицы 4
был получен двойной закон экспоненциальной ги-
бели в виде
ࡥ஼ි ϹɪϽЀϼϿЀ čĠĘ (−ϸɪϻϽϿϹϽ ߋ஻ɪ஻௃ீ௃ு )+
+ϸɪϼϹЁϿϸ čĠĘ ((−ϸɪϹϺϼϼЀ ߋ஺ɪூு஼௃௃ ). (7)
+ϸɪϼϹЁϿϸ čĠĘ ((−ϸɪϹϺϼϼЀ ߋ஺ɪூு஼௃௃ ). (7)
Сравнивая значения параметров с фундамен-
тальными числами [], замечаем, что 1.58478 ע ࡮ʆϺ,
а значение 0.41970 ע Ϻ−࡮ʆϺ.
После повторной идентификации получаем
(рис. 3) формулу
ࡥ஼ි (࡮ʆϺ)čĠĘ (−ϸɪϻϽϼϺϼ ߋ஻ɪ஼஺஺ி௃ )+(Ϻ−
࡮ʆϺ)čĠĘ (−ϸɪϹϻϸϹϽ ߋ஺ɪூீ஼ுு ). (8)
Из рисунка 3 видно, что дисперсия равна ޻ි
ϸɪϸϹϺЁϸ , а коэффициент корреляции закономерно-
сти (8) составляет ߔි ϸɪЁЁЁϿ . Таким образом ,
тренд (8) оказался точнее по сравнению с трендом
(4) при коэффициенте корреляции 0.9991. 1j jP i

132 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закономерности (8) Остатки от модели (8)
Рис. 3. Графики изменения средней плотности распределения простых чисел по тренду (8)

Остатки показывают наличие двух колебаний
в начале ряда и затем к его концу. После идентифи-
кации была получена (рис. 4) четырехчленная фор-
мула вида
ࡥ஼ි ࡥ஼஻ + ࡥ஼஼ + ࡥ஼஽ + ࡥ஼ா, (9)
ࡥ஼஻ ි (࡮ʆϺ) čĠĘ (−ϸɪϻϾϹϺϿ ߋ஻ɪ஻஽ா௃௃ ),
ࡥ஼஼ ි (Ϻ−࡮ʆϺ) čĠĘ (−ϸɪϹЀЀϼϿ ߋ஺ɪு஼ீி஻ ),
ࡥ஼஽ ි ϸɪϹϺϽϻϹ ߋாɪ஽஺஺ி஼ čĠĘ (−ϸɪЀЁϸϺϽ ߋ஻ɪி஺஼ி஺ )×
×ċėě (࡮ߋʆ(ϸɪϻϿϻЀϾ +ϸɪϹϸϹϹЀ ߋ஺ɪ௃ுிி஺ )−
ϸɪЁϿϸϾϹ ),
ࡥ஼ா ි ϾɪϸϹϼϾϺ дϹϸ ௅ி ߋ஻ɪு஺஻஼஺ čĠĘ (−ϸɪϸϹϹϾϿϺ ߋ)×
×ċėě (࡮ߋʆ(ϻɪЁϾϾЀϼ +ϸɪϸЁϼϺϾϽ ߋ஻ɪ஻ாாூீ )+
ϹɪϽϸϹϻЁ ).
Первое колебание средней плотности Второе колебание средней плотности
График закономерности (9) Остатки от модели (9) по расчетам
Рис. 4. Графики изменения средней плотности волнового распределения простых чисел

Из уравнения (9) видно, что в волновых урав-
нениях (9) появились сдвиги колебаний, которые в
формуле (5) были равны 0. При этом вторая волна
формулы (5) сильно расходится, что не дает воз-
можности прогнозировать. А в формуле (9) оба ко-
лебания сходятся, поэтому возможен прогн оз сред-
ней плотности простых чисел среди натуральных
чисел по блокам в двоичной системе счисления.
при этом по графикам на рисунке 4 видно, что пер-
вая волна является краткой по дине и завершается
примерно после восьмого двоичного разряда.
Тогда прогнозная модель содержит три члена
(первый, второй и четвертый) из (9). После расче-
тов в Excel -2016 было получено, что по остаткам от
формулы (9) возможно и третье колебание (рис. 5),
которое, ак и вторая составляющая, происходит в
начале ряда простых чисел


ࡥ஼ி ි −ϸɪЁЁЁϹϾϺϸϾϹ ߋாɪ஽஽௃ூ௃ுீ஻ čĠĘ (−ϺɪϻϼϼϾЁЀЀϾϻ ߋ஻ɪ஺஺஼஼஺௃ு஻ )××ċėě (࡮ߋʆ(ϹɪϼϸϾϽϽϼϹЀϼ +
ϸɪϸϹЀϸЁϹЁϹϽϹ ߋ஺ɪு௃ீு௃ுூுீ )−ϸɪϽϼϹϻϸϸϸϻЀ ).(10) S = 0 .0 12 9 0 0 7 2
r = 0 . 9 9 97 0 0 4 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 4.2 8.4 12 .7 16 .9 21 .1 25 .3
0 .0 1
0 .3 7
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 3
2 .1 9 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 4.2 8.4 12 .7 16 .9 21 .1 25 .3 -0 .04
-0 .03
-0 .02
-0 .00
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 3 S = 0 .0 0 4 9 7 3 9 4
r = 0 . 9 3 85 9 9 3 1
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 4.2 8.4 12 .7 16 .9 21 .1 25 .3 -0 .04
-0 .03
-0 .02
-0 .00
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 3 S = 0 .0 0 15 4 2 2 0
r = 0 . 8 2 02 8 1 5 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 4.2 8.4 12 .7 16 .9 21 .1 25 .3 -0 .01
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 1 S = 0 .0 0 2 0 8 8 6 7
r = 0 . 9 9 99 9 8 0 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 4.2 8.4 12 .7 16 .9 21 .1 25 .3
0 .0 1
0 .3 7
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 3
2 .1 9 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 4.2 8.4 12 .7 16 .9 21 .1 25 .3 -0 .12
-0 .07
-0 .02
0 .0 2
0 .0 7
0 .1 2
0 .1 7

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 133


График закономерности (10) Остатки от модели (10) по расчетам
Рис. 5. Графики изменения средней плотности простых чисел по третьей волне

Формула (10) на прогноз также не влияет. Учет
всех пяти членов выявленной модели (табл. 5) поз-
воляет получить максимальную погрешность
2.03%. При этом видно, что по мере увеличения
разряда двоичной системы счисления относитель-
ная погрешность нарастает из -за уменьшения фак-
тического значения средней плотности простых чи-
сел среди натуральных чисел.
На прогноз до уровня разряда влияют всего два
члена ࡥ஼஼ и ࡥ஼ா. Остальные три члена, вклю чая и
первое уравнение двухчленного тренда, при усло-
вии ߋ≥ ϺϾ практически равны нулю.
Прогнозная модель закона распределения про-
стых чисел по двоичным блокам имеет вид
ࡥ஼ි ࡥ஼஼ + ࡥ஼ா, (10)
ࡥ஼஼ ි (Ϻ−࡮ʆϺ) čĠĘ (−ϸɪϹЀЀϼϿ ߋ஺ɪு஼ீி஻ ),

ࡥ஼ா ි ϾɪϸϹϼϾϺ дϹϸ ௅ி ߋ஻ɪு஺஻஼஺ čĠĘ (−ϸɪϸϹϹϾϿϺ ߋ)×
×ċėě (࡮ߋʆ(ϻɪЁϾϾЀϼ +ϸɪϸЁϼϺϾϽ ߋ஻ɪ஻ாாூீ )+
ϹɪϽϸϹϻЁ ).
Формула (10) допускает расчет до ߋි ϽϽ
(табл. 5). С ростом разряда средняя плотность по-
лучает отрицательный знак, что недопустимо. Для
увеличения точности (снижения погрешности) сле-
дует увеличить фактический ряд по таблице 4 и од-
новременно нужно идентификацию проводить на
специализированной программно й среде, более
лучшей по сравнению с CurveExpert -1.40.
Таблица 5
Ряд простых чисел по разрядам 2

Средняя
плотность
ࡥ஼
Остатки

Относит.
погрешн.
х, %

Составляю-
щая
ࡥ஼஼
Составляю-
щая
ࡥ஼ா
Плотность
расчетная ࡥ஼
Основание прогноза Горизонт прогноза
0 2 0 0.00 32 0.04145 0.014842 0.056291
1 1.5 -0.00011 -0.01 33 0.039316 0.015015 0.054332
2 1 -0.00081 -0.08 34 0.037309 0.014951 0.05226
3 0.75 0.00072 0.10 35 0.035419 0.014664 0.050083
4 0.5 -0.00076 -0.15 36 0.033638 0.014172 0.04781
5 0.40625 -0.00079 -0.19 37 0.031959 0.013494 0.045453
6 0.3125 -0.0013 -0.42 38 0.030376 0.012649 0.043025
7 0.25781 -6.7E -05 -0.03 39 0.028881 0.011658 0.040539
8 0.21875 -8.7E -05 -0.04 40 0.02747 0.010539 0.038009
9 0.19336 0.002539 1.31 41 0.026137 0.00931 0.035447
10 0.16992 0.000245 0.14 42 0.024876 0.007989 0.032865
11 0.15186 -0.00092 -0.61 43 0.023684 0.006593 0.030277
12 0.13818 -0.00052 -0.37 44 0.022556 0.005135 0.027691
13 0.12573 -0.0009 -0.72 45 0.021489 0.00363 0.025119
14 0.11609 -8.8E -05 -0.08 46 0.020478 0.00209 0.022568
15 0.10724 0.000113 0.11 47 0.01952 0.000527 0.020046
16 0.099854 0.000505 0.51 48 0.018612 -0.00105 0.017561
17 0.093483 0.000743 0.80 49 0.017751 -0.00263 0.015117
18 0.087746 0.000551 0.63 50 0.016934 -0.00421 0.012721
19 0.082764 0.000168 0.20 51 0.016159 -0.00578 0.010375
20 0.078227 -0.00059 -0.75 52 0.015423 -0.00734 0.008083
21 0.074202 -0.00151 -2.03 53 0.014725 -0.00888 0.005848
22 0.073564 0.000408 0.56 54 0.014061 -0.01039 0.003672
23 0.071675 0.000657 0.92 55 0.013431 -0.01187 0.001556

Прогнозная средняя плотность распределения
простых чисел среди натуральных чисел ޶ ි Ϻிி
равна 0.001556, что меньше по сравнению с деся-
тичной системой счисления по данным таблицы 3 в
0.0320 / 0.001556 ≈ 20.6 раз. Таким образом, приме-
нение разрядов двоичной системы счисления i i S = 0 .0 0 0 9 8 9 9 1
r = 0 . 9 9 97 3 2 7 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 4.2 8.4 12 .7 16 .9 21 .1 25 .3 -0 .12
-0 .07
-0 .02
0 .0 2
0 .0 7
0 .1 2
0 .1 7 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 4.2 8.4 12 .7 16 .9 21 .1 25 .3 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

134 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
намного повышает эффективность достижения не-
которого предела средней плотности распределе-
ния простых чисел среди ряда натуральных чисел.
11. Закон распределения средней плотности
простых чисел в ряду простых чисел. Из двух
предыдущих распределений по разрядам десятич-
ного и двоичного счисления видно, что оба они
имеют погре шности представления из -за различий
в значениях конца блоков и последнего в блоке про-
стого числа. Поэтому следует ожидать, что вычис-
ление плотности распределения простых чисел от-
носительно самого ряда простых чисел будет
наиболее точным.
Для ряда простых чисел η ි ࡮(޸౧)ʆ޸౧, тогда
при условии получаем отношение
. При выявлении закономерности
учитываются все члены ряда простых чисел. В этом
заключается преимущество, однако недостатком
является громоздкость исхо дных данных, напри-
мер, при сравнении с рядом десятичных или даже
двоичных разрядов.
Для удобства принимаем ряд простых чисел
среди 100000 натуральных чисел (табл. 6).

Таблица 6. Ряд простых чисел =
Ϻౢ Ранг =простого
числа =
Ко -во =
чисел =
=
Простое =
число =
=
Средняя плотность
η=
= M= M= N= M= с
¶ · · ¸ · ¸
· ¸ ¸ ¹ ¸ 1.»
¸ º ¹ º ¹ 1.3333¹
º » » ·
¹ ¾ » ¼ ½ 0.8571º
¼ ½ 11 0.6363¼
º 16 ½ ¾ 13 0.6153¾
¾ ¿ 17 0.5294·
¿ 10 19 0.5263¸
10 11 23 0.4782¼
11 12 29 0.4137¿
» 32 12 13 31 0.4193»
…= …= …= …= …= …=
= = 9589 = 9590 = 9992P = 0.0959T =
= = 9590 = 9591 = 9992V = 0.0959U =
= = 9591 = 9592 = 9996N = 0.0959S =
= = 9592 = 9593 = 9997N = 0.0959S =
= = 9593 = 9594 = 9998V = 0.0959R =
= = 9594 = 9595 = 9999N = 0.0959S =
Для удобства представления слева в двух
столбцах будем приводить расклад в двоичной си-
стеме счисления. Среди 100000 натуральных чисел
располагаются 9595 простых чисел, начиная с 0.
Программная среда CurveExpert -1.40 ( URL :
http ://www .curveexpert .net /) может работать с тру-
дом при массиве до Ϻ஻ி ි ϻϺϿϾЀ пар чисел. По-
этому 9495 пар чисел идентифицировать можно.
Эффективно эта программная среда работает при
мощности только около 3500 пар чисел.
Ранг ߌ простого числа ста новится объясняю-
щей переменной. Как и в прошлых системах от-
счета (по разрядам 10 и 2) промежутки между стро-
ками пар числе являются неравномерными. Но при
этом расстояние между простыми числами (мы
называем это расстояние приращением простого
числа [17, 22] ) растет, но гораздо медленнее разря-
дов 10 и 2.
На рисунке 6 показаны графики влияния мощ-
ности ряда из 9595 простых чисел на среднюю
плотность распределения по данным таблицы 6 по
трехчленной формуле
ηි ࡥ஻+ ࡥ஼+ ࡥ஽, (11)
ࡥ஻ි ϹɪϿϼϺϺϻ д
Ϲϸ ௃ čĠĘ (−Ϻϸ ɪϿϻϹЁϸ ߌ஺ɪ஺஼஽ு஺ா ), ࡥ஼ි
ϸɪϹϺϾϻϺ čĠĘ (−ϽɪϸϼϽϸϻ дϹϸ ௅ீߌ஻ɪ஻ா஽ீூ ), ࡥ஽ි
ϸɪϺϾϿϾϼ čĠĘ (−ϸɪϹϺϼЁЀ ߌ஺ɪ஼ூா஼ூ )ċėě (࡮ߌʆ(ϽɪϹϽϸϹϽ +
ϸɪϾϾϼЁϼ ߌ஻ɪ஺஻஼஻ூ )). 1  j n jP j /)1 (    i j 1j jP  

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 135
График закономерности (11) Остатки от модели (11)
Рис. 6. Графики изменения средней плотности 9595 простых чисел

Остатки показывают сильное второе колеба-
ние в начале ряда простых чисел. Но графически
при большом значении пар чисел (более 3000 пар
чисел) теряется наглядность.
По -видимому, для анализа закона распреде ле-
ния простых чисел среди самого ряда простых чи-
сел появляется возможность учета любого куска
этого ряда. Главное, чтобы последовательность
расположения простых чисел в этом куске была бы
непрерывной. Для доказательства этого утвержде-
ния рассмотрим несколь ко кусков в конце нату-
ральных чисел разной мощности.
Для наглядности берем кусок из 174 точек в
начале ряда из 1024 натуральных чисел.
12. Кусок ряда простых чисел в начале ряда
простых чисел. Тренд в виде двух законов экспо-
ненциальной гибели (рис. 7) для куска из 2 10 нату-
ральных чисел как выражение
ࡥි ϹɪЀϻϾϺϸ čĠĘ (−ϸɪϺЁЀϽЁ ߌ஻ɪ஺஺஽ுூ )+
ϹЁ ɪЁЁϼЀЀ čĠĘ (−ϻɪϼϽϺϿϸ ߌ஺ɪ஺ீா஼ீ஻ ). (12)
График закономерности (12) Остатки от модели (12)
Рис. 7. Графики изменения средней плотности 174 первых простых чисел в ряду

Заметно, что с изменением длины ряда про-
стых чисел параметры тренда сильно меняются.
Это свойство позволяет изучать плотность с добав-
лением в ряд каждого члена в виде одного простого
числа. Из остатков на рисунк е 7 видно, что от 0 до
25 (число 32) наблюдаются сильные колебания. по-
этому отрежем этот начальный кусочек и снова по-
вторим идентификацию.
После параметрической идентификации фор-
мулы (12) было получено (рис. 8) уравнение
ࡥි ϸɪϼϺϾϺϹ čĠĘ (−ϸɪϺϽϸϸϿ ߌ஺ɪு஺ாி஺ )+
ϹϾ ɪϸϸϻЀϾ čĠĘ (−ϻɪϽϼϽЁϾ ߌ஺ɪ஺ாூ஼ி஻ ).(13)
График закономерности (13) Остатки от модели (13)
Рис. 8. Графики изменения средней плотности 174 – 13 = 161 простого числа

Остатки от формулы (13) уменьшились, хотя
снова возникают колебания со снижающейся ам-
плитудой. Тогда можем сделать вывод о том, что
любой кусок непрерывного ряда простых чисел
имеет право на существование. S = 0 .0 0 2 4 5 5 9 6
r = 0 . 9 9 77 9 7 6 2
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 17 59.0 35 17.8 52 76.7 70 35.6 87 94.4 10 553 .3
0 .0 1
0 .3 7
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 3
2 .1 9 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 26 38.4 52 76.7 79 15.0 10 553 .3 -0 .18
-0 .09
0 .0 0
0 .0 9
0 .1 8 S = 0 .0 12 6 5 7 5 9
r = 0 . 9 9 82 9 2 1 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 31 .8 63 .5 95 .2 12 6.8 15 8.5 19 0.2
0 .0 2
0 .3 8
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 2
2 .1 8 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 31 .8 63 .5 95 .2 12 6.8 15 8.5 19 0.2 -0 .10
-0 .06
-0 .03
0 .0 1
0 .0 4
0 .0 8
0 .1 1 S = 0 .0 0 3 3 3 0 9 4
r = 0 . 9 9 74 1 4 9 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
1.3 32 .6 63 .9 95 .1 12 6.4 15 7.7 18 9.0
0 .1 5
0 .1 9
0 .2 3
0 .2 7
0 .3 2
0 .3 6
0 .4 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
1.3 32 .6 63 .9 95 .1 12 6.4 15 7.7 18 9.0 -0 .01
-0 .01
-0 .00
0 .0 0
0 .0 1
0 .0 1
0 .0 2

136 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
Однако куски с разрывами между простыми
числами, например, специальные ряды простых чи-
сел, по -видимому, требуют отдельных статистиче-
ских исследований.
Для уверенности примем кусок после нату-
рального числа 2 10 от 1031 до 2731 (227 точек).
После моделирования был получен (рис. 9), в
частном случае, закон распределения Релея
ࡥි ϸɪϹϾϾϾϺ čĠĘ (−ϸɪϸϼЁϾϺϾ ߌ஺ɪா௃ீ௃஽ )+
ϸɪϸЀϺϸϾϾ .(14)
Во второй части двойного закона экспоненци-
альной гибели происходит смена знака на экспо-
ненциальный рост, что, как нам представляется, яв-
ляется совпадением с концом куска.
График закономерности (14) Остатки от модели (14)
Рис. 9. Графики изменения средней плотности на куске ряда простых чисел от 1031 до 2731

Теперь перенесем начало координат куска в
его начало ߌ஺ි ߌ−ϹϿϼ .
После повторной идентификации формулы
(14) получим (рис. 10) снова закон Релея
ࡥි ϸɪϹϸЁϽЁ čĠĘ ෱−ϸɪϸϸϽЁЀϽϺ ߌ஺஺ɪு஺ுூீ ෵+
ϸɪϸϾϺϻϻЁ . (15)
Значения параметров модели от переноса ко-
ординат сильно изменились.
График закономерности (15) Остатки от модели (15)
Рис. 10. Графики средней плотности на куске ряда от 1031 до 2731 в новом начале координат

При этом коэффициент корреляции от замены
начала координат даже повысился от 0.9906 до зна-
чения 0. 9920. Главное достоинство заключается в
том, что практически возможно рассматривать ку-
сок на любой части очень длинного ряда простых
чисел. Для анализа нужно знать значения средней
плотности распределения простых чисел в самом
ряду простых чисел.
Далее ра ссмотрим примеры с переносом начал
координат ߌע ߌ஺ в начало куска.
13. Куски ряда простых чисел вдоль ряда .
Вначале рассмотрим кусок простых чисел мощно-
стью при рангах от 9400 до 9594 в конце ряда в
100000 натуральных чисел. Без переноса начал ко-
ординат п роцесс идентификации здесь затруднен.
Поэтому на рисунке 11 приведены графики
формулы с переносом координат
ࡥි ϸɪϸЁϾϹϺϾ čĠĘ ෱−ϹɪϼϼϾϾϾ дϹϸ ௅ிߌ஺஺ɪ௃஺ு௃ு ෵+
+ϹɪϾϼϽϼϸ дϹϸ ௅ிčĠĘ (−ϸɪϹϾЀϻϼ ߌ஺). (16)
График закономерности (16) Остатки от модели тренда (16)
Рис. 11. Графики средней плотности на куске в конце 100000 в новом начале координат
S = 0 .0 0 0 9 7 8 4 8
r = 0 . 9 9 06 2 5 8 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
15 1.4 19 6.6 24 1.8 28 7.0 33 2.2 37 7.4 42 2.6
0 .1 4
0 .1 5
0 .1 5
0 .1 6
0 .1 6
0 .1 7
0 .1 7 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
15 1.4 19 6.6 24 1.8 28 7.0 33 2.2 37 7.4 42 2.6 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 9 0 2 7 6
r = 0 . 9 9 20 2 6 1 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 41 .4 82 .9 12 4.3 16 5.7 20 7.2 24 8.6
0 .1 4
0 .1 5
0 .1 5
0 .1 6
0 .1 6
0 .1 7
0 .1 7 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 41 .4 82 .9 12 4.3 16 5.7 20 7.2 24 8.6 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 2 16 2
r = 0 . 9 19 0 5 3 6 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 35 .6 71 .1 10 6.7 14 2.3 17 7.8 21 3.4
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 35 .6 71 .1 10 6.7 14 2.3 17 7.8 21 3.4 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 137
Заметно, что при снижении средней плотности
относительно трендовой линии возрастет колеба-
ние из -за неравномерности распределения простых
чисел.
Для конца ряда простых чисел среди 500000
натуральных чисел (рис. 12) с ранга 40650 до 41539,
снова с переносом начала координат ранга простых
чисел, была получена модель тренда
ࡥි ϸɪϸЀϻϺϹϽ čĠĘ ෱−ϹɪЁϿϿϸϸ д
Ϲϸ ௅ீߌ஺஺ɪ௃௃஻ாு ෵+ϽɪϹϾϻЁϽ д
Ϲϸ ௅ுčĠĘ (−ϸɪϸϸϻϿϿϻϸ ߌ஺). (17)
Структура уравнения изменяется от общей
конструкции к частным формам.
График закономерности (17) Остатки от модели тренда (17)
Рис. 12. Графики средней плотности на куске в конце 500000 в новом начале координат

Как видно из рисунков, начиная с рисунка 9,
остатки показывают по оси ординат нули. Этот
факт означает, что программная среда не рассчи-
тана на малые числа. Поэтому нужна специализи-
рованная программная среда с показом очень ма-
лых по значениям средней плотности.
До конца ряда в 10 6 натуральных чисел (рис.
13) для рангов с 78000 по 78499 также получена
двухчленная модель вида
ࡥි ϸɪϸϿЀϽϻЁ čĠĘ ෱−ЁɪϾϼϾϾϻ дϹϸ ௅ுߌ஺஺ɪ௃ு஼ூி ෵+
ϻɪϿϾϺЁϽ дϹϸ ௅ுčĠĘ (−ϸɪϸϸЁϸϿϾϾ ߌ஺). (18)
График закономерности (18) Остатки от модели тренда (18)
Рис. 13. Графики средней плотности на куске в конце 10 6 в новом начале координат

Теперь попробуем рассчитать среднюю плот-
ность в конец ряда простых чисел из 10 7 натураль-
ных чисел (из Интернет мы нашли такую таблицу
простых чисел). По данным [28] до 10000000 нахо-
дятся 663579 простых чисел. Тогда в полном ряду
простых чисел будет на два числа больше или ߌ+
Ϲි ϾϾϼϽЀϹ . Тогда из таблицы простых чисел пере-
несем конец ря да в Ecxel затем в обратном порядке
расставим значения мощности. После этого расста-
вим и значение ߌ஺ (табл. 7).
По данным таблицы 7 было получено (рис. 14)
также двухчленное уравнение
ࡥි ϸɪϸϾϾϼϾЁϸϿϸЁ čĠĘ ෱−ϹɪϾϾϺϹϿЁϼЀЀ д
Ϲϸ ௅ுߌ஺஺ɪ௃ுிு஺஽ூூ஺ீ ෵+ϹɪϿϻϽϻЀϽϸϽϽϽ д
Ϲϸ ௅ுčĠĘ (−ϸɪϸϸϺϾϼϺϾϿЀϼϹϾ ߌ஺). (19)
Таким образом, можно принять, что основным
законом средней плотности распределения простых
чисел является сумма двух законов экспоненциаль-
ной гибели (модифицированных нами законов
Лапласа из математики, Мандельброта из физики ,
Перла из биологии, Парето из эконометрики). На
начале ряда простых чисел соблюдаются все шесть
параметров модели, а с дальнейшим возрастанием
мощности ряда модель упрощается.
S = 0 .0 0 0 0 0 7 2 5
r = 0 . 9 8 40 5 2 9 2
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 16 3.0 32 6.0 48 8.9 65 1.9 81 4.9 97 7.9
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 16 3.0 32 6.0 48 8.9 65 1.9 81 4.9 97 7.9 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 0 2 8 9
r = 0 . 9 5 69 8 4 8 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 91 .5 18 3.0 27 4.4 36 5.9 45 7.4 54 8.9
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8
0 .0 8 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 91 .5 18 3.0 27 4.4 36 5.9 45 7.4 54 8.9 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

138 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
Таблица 7 . Результаты расчетов для получения статис тической модели (19)
Ранг
куска
ряда ߌ஺
Мощ-
ность =
=
Простое =
число =
=
Средняя
плотность =
η=
Расчетная
средняя плот-
ность =
Остатки =

Относит. =
погрешность =
х, %
¶ 663403 998035· 0.06647091 0.06646924º 0.0000016642 0.0025¶
· 663404 998036¹ 0.06647093 0.06646923¹ 0.0000016960 0.0025»
¸ 663405 998038¿ 0.06647086 0.06646922¸ 0.0000016342 0.0024¼
¹ 663406 998043· 0.06647068 0.06646921· 0.0000014657 0.0022¶
º 663407 998044· 0.06647071 0.06646920¶ 0.0000015102 0.0022½
» 663408 998044¿ 0.06647076 0.06646918¿ 0.0000015679 0.0023¼
…= …= …= …= ..= …= …=
1174 = 664577 = 999993T = 0.06645812 = 0.06645815S = -0.0000000368 = -0.0000S =
1175 = 664578 = 999994P = 0.06645818 = 0.06645814S = 0.0000000324 = 0.0000R =
1176 = 664579 = 999997N = 0.06645809 = 0.06645813T = -0.0000000446 = -0.0000T =
1177 = 664580 = 999997P = 0.06645818 = 0.06645812U = 0.0000000512 = 0.0000U =
1178 = 664581 = 999999N = 0.06645816 = 0.06645811V = 0.0000000407 = 0.0000S =
=
Максимальная относительная погрешность
равна 0.00262% при ߌ஺ි Ѐ.
График закономерности (19) Остатки от модели тренда (19)
Рис. 14. Графики средней плотности на куске в конце 10 6 в новом начале координат

Из -за прыжков [4, 16] в ряду простых чисел по
мере дальнейшего роста мощности ряда остатки по-
степенно начнут превышать само значение тренда.
14. Основной закон распределения средней
плотности простых чисел. На основе индуктив-
ного подхода к доказательству структуры и функ-
ций средней плотности простых чисел в раду нату-
ральных чисел можно записать следующую кон-
струкцию основного закона
ࡥි ߃߇௅౛ౣൔ+߆߇௅౟ౣ൘, (20)
где η – средняя плотность распределе-
ния простых чисел в ряду натуральных чисел,
߇ – чи сло Непера (число вре-
мени),
ߌ – ранг простого числа , ߌි
ϸɧϹɧϺɧϻɧϼɧϽɧϾɧɫɧߐ, ޸ౣි ϸɪϹɧϺɧϻɪϽɧϿɧϹϹ ɧɫɧ޸౧,
ߌ+Ϲ – количество простых чисел (мощность
ряда) среди ряда натуральных чисел,
߃, ߄, ߅, ߆, ߈, ߉ – параметры закона распределе-
ния средней плотности простых чисел.
С учетом дополнения тренда (20) основного за-
кона волновыми составляющими в общей модели
появляются две фундаментальные физические по-
стоянные: число Непера (число
времени) и число Архимеда (число
пространства).
По мере увеличения мощности ряда для кусков
в конце ряда, по -видимому, появляются частные
случаи основного закона в виде тренда (20):
– при ߉ි Ϲ получается формула ࡥි
߃߇ߚߒ (−߄ߌ౜)+߆߇ߚߒ (−߈ߌ);
– при ߈ි ϸ образуется конструкция формулы
ࡥි ߃߇ߚߒ (−߄ߌ౜)+߆;
– при ߆ි ϸ остается один член в модели
тренда ࡥි ߃߇ߚߒ (−߄ߌ౜);
– при условиях ߆ි ϸ и ߅ි Ϲ формула тренда
ࡥි ߃߇ߚߒ (−߄ߌ) соответствует закону Лапласа в ма-
тематике, Мандельброта в физике, Перла в биоло-
гии и Парето в эконометрике;
– при ߆ි ϸ и ߄ි ϸ основной закон превраща-
ется в постоянную ࡥි ߃ которая, по -видимому, до-
стигается при мощности ߌ+Ϲע с или ранге ߌע
с, стремящихся к бесконечности.
Из формулы (2) η ි (ߌ+Ϲ)ʆ޸ౣ получаем соот-
ношение ޸ౣි (ߌ+Ϲ)ʆࡥ. Тогда, с учетом закона
средней плотности простых чисел, получаем фор-
мулу для прогноза простых чисел
޸ౣි (ߌ+Ϲ)ʆ(߃߇௅౛ౣൔ+߆߇௅౟ౣ൘). (21) 1j jP ... 71828,2e jP ... 71828,2e ... 14159,3  S = 0 .0 0 0 0 0 0 6 2
r = 0 . 9 8 22 3 8 9 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 21 6.0 43 1.9 64 7.9 86 3.9 10 79.8 12 95.8
0 .0 7
0 .0 7
0 .0 7
0 .0 7
0 .0 7
0 .0 7
0 .0 7 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 21 6.0 43 1.9 64 7.9 86 3.9 10 79.8 12 95.8 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 139
Как видно из предыдущих граф иков, не только
ряд простых чисел, но и средняя плотность их рас-
пределения среди натуральных чисел, имеет коле-
бания. Поэтому формула (20) дополняется множе-
ством волновых уравнений [13] с переменными ам-
плитудой и периодом колебаний.
В 1972 г. Монтгомери док азал характер распо-
ложения нулей на критичной линии [22]. Из наших
работ [9, 10] видно, что они действительно колеб-
лются. Мы объясняем стремление простых чисел, а
также их преобразованных в двоичной системе
счисления 0 и 1, разбегаться друг от друга из -за
силы, возникающей относительно геометрической
прогрессии Ϻౢ по двоичным блокам [13, 14]. Оказа-
лось, что тривиальные нули не колеблются, а не-
тривиальные нули разбегаются в плоскости ( , )
при таблице инцидентности с рацио-
нальным корнем 1/2.
15. Влияние мощности ряда на параметры
основного закона средней плотности . В уравне-
нии (20) рассмотрим влияние ранга простого числа
ߌ на изменение параметров модели (табл. 8) ср едней
плотности η распределения простых чисел в ряду
натуральных чисел.

Таблица 8 . Параметры закона средней плотности в зависимости от ранга простого числа
Ранг =
ߌ
Параметры закона (20) = Коэфф. =
коррел. = ߃ ߄ ߅ ߆ ߈ ߉
· ¸ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ·
¸ 2.6666½ 0.2876¾ · ¶ ¶ ¶ 1.0000
¹ 54.63097 3.3129¼ 0.1084º ¶ ¶ ¶ 1.0000
º 3.0079¸ 0.4129¿ 0.6824½ ¶ ¶ ¶ 0.9901
» 2.9033¾ 0.3781¿ 0.7253¾ ¶ ¶ ¶ 0.9936
¼ 2.5697¿ 0.2605¶ 0.9149¶ ¶ ¶ ¶ 0.9945
½ 2.7469» 0.3236¾ 0.8057¶ ¶ ¶ ¶ 0.9949
¾ 2.3791¿ 0.3000º 0.9356· 0.2236» ¶ ¶ 0.9956
¿ 2.0117¸ 0.2433¸ 1.1509¿ 0.4032¿ ¶ ¶ 0.9956
10 1.9818¹ 0.2368¾ 1.1748º 0.4158¼ ¶ ¶ 0.9961
25 1.9962¿ 0.2732· 1.0961¹ 0.4745¸ 0.020021 0.9942¶ 0.9978
50 1.6557¿ 0.2437¿ 1.1513¼ 1.4661¼ 0.7611¼ 0.2308» 0.9982
10¶ 1.6698¾ 0.2552º 1.0982¹ 8.4855¶ 2.5007º 0.092469 0.9983
50¶ 2.1754· 0.3982· 0.8456» 40209.36 11.20580 0.018876 0.9980
1000 2.5477¼ 0.5045¼ 0.7320¶ 2.26004е5 = 13.06457 = 0.014380 = 0.9976 =
2000 = 3.0595T = 0.6454R = 0.6255O = 7.50800е5 = 14.38685 = 0.011654 = 0.9971 =
3000 = 3.4807V = 0.7525T = 0.5651R = 7.54163е5 = 14.46092 = 0.010849 = 0.9968 =
9594 = 1.97656е9 = 20.71434 = 0.031932 = 0.1145Q = 2.36110е -R= 1.000014 = 0.9908 =
При ранге ߌි ϸ получается η = с.

График закона (20) при ߌ = 2 Остатки от модели (20) при ߌ = 2
График закона (20) при ߌ = 3 Остатки от модели (20) при ߌ = 3 i j 1 0 ij S = 0 .0 0 0 0 0 0 0 0
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1
1 .4 5
1 .5 5
1 .6 5
1 .7 5
1 .8 5
1 .9 5
2 .0 5 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 0 0 0 0
r = 1. 0 0 0 0 0 0 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2
1 .2 7
1 .4 0
1 .5 3
1 .6 7
1 .8 0
1 .9 3
2 .0 7 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 -0 .04
-0 .03
-0 .02
-0 .01
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 3

140 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закона (20) при ߌ = 4 Остатки от модели (20) при ߌ = 4
График закона (20) при ߌ = 5 Остатки от модели (20) при ߌ = 5
График закона (20) при ߌ = 6 Остатки от модели (20) при ߌ = 6
График закона (20) при ߌ = 7 Остатки от модели (20) при ߌ = 7
График закона (20) при ߌ = 8 Остатки от модели (20) при ߌ = 8 S = 0 .10 1 0 9 49 5
r = 0 . 9 9 01 4 0 0 2
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.7 1.3 1.9 2.5 3.1 3.7 4.3
0 .9 0
1 .1 0
1 .3 0
1 .5 0
1 .7 0
1 .9 0
2 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.7 1.3 1.9 2.5 3.1 3.7 4.3 -0 .06
-0 .04
-0 .01
0 .0 1
0 .0 4
0 .0 7
0 .0 9 S = 0 .0 7 16 8 5 3 9
r = 0 . 9 9 36 3 5 3 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.6 1.4 2.2 3.0 3.8 4.6 5.4
0 .7 4
0 .9 7
1 .2 0
1 .4 3
1 .6 6
1 .8 9
2 .1 1 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.6 1.4 2.2 3.0 3.8 4.6 5.4 -0 .07
-0 .04
-0 .01
0 .0 1
0 .0 4
0 .0 7
0 .0 9 S = 0 .0 6 6 8 6 2 6 2
r = 0 . 9 9 44 8 9 6 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5
0 .5 0
0 .7 7
1 .0 5
1 .3 2
1 .5 9
1 .8 6
2 .1 4 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 -0 .09
-0 .06
-0 .03
-0 .00
0 .0 3
0 .0 6
0 .0 9 S = 0 .0 6 2 6 2 15 9
r = 0 . 9 9 48 7 6 9 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 1.6 2.8 4.0 5.2 6.4 7.6
0 .4 8
0 .7 5
1 .0 3
1 .3 1
1 .5 8
1 .8 6
2 .1 4 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.4 1.6 2.8 4.0 5.2 6.4 7.6 -0 .07
-0 .05
-0 .02
0 .0 1
0 .0 4
0 .0 7
0 .0 9 S = 0 .0 6 3 9 8 0 18
r = 0 . 9 9 55 7 7 5 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.3 1.7 3.1 4.5 5.9 7.3 8.7
0 .3 8
0 .6 8
0 .9 7
1 .2 6
1 .5 6
1 .8 5
2 .1 5 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.3 1.7 3.1 4.5 5.9 7.3 8.7 -0 .08
-0 .05
-0 .02
0 .0 1
0 .0 4
0 .0 7
0 .1 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 141
График закона (20) при ߌ = 9 Остатки от модели (20) при ߌ = 9
График закона (20) при ߌ = 10 Остатки от модели (20) при ߌ = 10
Рис. 15. Графики средней плотности в зависимости от ранга простого числа

График закона (20) при ߌ = 25 Остатки от модели (20) при ߌ = 25
График закона (20) при ߌ = 50 Остатки от модели (20) при ߌ = 50
График закона (20) при ߌ = 10¶ Остатки от модели (20) при ߌ = 10¶ S = 0 .0 6 0 6 6 19 4
r = 0 . 9 9 56 2 5 2 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8
0 .3 8
0 .6 7
0 .9 7
1 .2 6
1 .5 6
1 .8 5
2 .1 5 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.2 1.8 3.4 5.0 6.6 8.2 9.8 -0 .09
-0 .06
-0 .03
0 .0 0
0 .0 3
0 .0 6
0 .1 0 S = 0 .0 5 5 4 5 8 4 9
r = 0 . 9 9 60 6 9 7 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 1.9 3.7 5.5 7.3 9.1 10 .9
0 .3 3
0 .6 3
0 .9 3
1 .2 4
1 .5 4
1 .8 5
2 .1 5 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 1.9 3.7 5.5 7.3 9.1 10 .9 -0 .09
-0 .06
-0 .03
0 .0 0
0 .0 3
0 .0 6
0 .1 0 S = 0 .0 3 2 7 7 13 8
r = 0 . 9 9 77 6 6 4 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 4.6 9.2 13 .8 18 .3 22 .9 27 .4
0 .1 2
0 .4 6
0 .8 0
1 .1 5
1 .4 9
1 .8 3
2 .1 7 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 4.6 9.2 13 .8 18 .3 22 .9 27 .4 -0 .09
-0 .05
-0 .02
0 .0 1
0 .0 4
0 .0 7
0 .1 0 S = 0 .0 2 19 5 5 8 0
r = 0 . 9 9 82 1 8 0 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 9.2 18 .4 27 .5 36 .6 45 .8 54 .9
0 .0 5
0 .4 0
0 .7 6
1 .1 1
1 .4 7
1 .8 2
2 .1 8 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 9.2 18 .4 27 .5 36 .6 45 .8 54 .9 -0 .09
-0 .05
-0 .02
0 .0 1
0 .0 4
0 .0 7
0 .1 0 S = 0 .0 15 7 8 7 2 2
r = 0 . 9 9 83 4 4 7 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 .4 36 .7 55 .0 73 .3 91 .6 10 9.9
0 .0 1
0 .3 7
0 .7 3
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 2
2 .1 8 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 .4 36 .7 55 .0 73 .3 91 .6 10 9.9 -0 .09
-0 .06
-0 .03
0 .0 1
0 .0 4
0 .0 7
0 .1 1

142 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закона (20) при ߌ = 500 Остатки от модели (20) при ߌ = 500
График закона (20) при ߌ = 1000 Остатки от модели (20) при ߌ = 1000
График закона (20) при ߌ = 2000 Остатки от модели (20) при ߌ = 2000
График закона (20) при ߌ = 3000 Остатки от модели (20) при ߌ = 3000
График закона (20) при ߌ = 9594 Остатки от модели (20) при ߌ = 9594
Рис. 16. Графики средней плотности в зависимости от ранга простого числа

S = 0 .0 0 8 6 0 6 9 6
r = 0 . 9 9 79 8 7 0 5
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 91 .7 18 3.4 27 5.0 36 6.6 45 8.3 54 9.9
0 .0 1
0 .3 8
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 2
2 .1 9 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 91 .7 18 3.4 27 5.0 36 6.6 45 8.3 54 9.9 -0 .11
-0 .07
-0 .03
0 .0 1
0 .0 5
0 .0 9
0 .1 3 S = 0 .0 0 6 8 8 0 7 6
r = 0 . 9 9 76 1 4 6 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 3.4 36 6.7 55 0.0 73 3.3 91 6.6 10 99.9
0 .0 1
0 .3 8
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 2
2 .1 9 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 18 3.4 36 6.7 55 0.0 73 3.3 91 6.6 10 99.9 -0 .12
-0 .07
-0 .03
0 .0 1
0 .0 5
0 .1 0
0 .1 4 S = 0 .0 0 5 5 3 0 3 6
r = 0 . 9 9 71 4 5 2 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 36 6.7 73 3.4 11 00.0 14 66.6 18 33.3 21 99.9
0 .0 1
0 .3 7
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 3
2 .1 9 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 36 6.7 73 3.4 11 00.0 14 66.6 18 33.3 21 99.9 -0 .12
-0 .08
-0 .03
0 .0 2
0 .0 6
0 .1 1
0 .1 6 S = 0 .0 0 4 8 7 3 8 3
r = 0 . 9 9 68 2 6 9 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 55 0.1 11 00.0 16 50.0 22 00.0 27 49.9 32 99.9
0 .0 1
0 .3 7
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 3
2 .1 9 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 55 0.1 11 00.0 16 50.0 22 00.0 27 49.9 32 99.9 -0 .12
-0 .08
-0 .03
0 .0 2
0 .0 7
0 .1 2
0 .1 7 S = 0 .0 0 4 9 9 7 3 7
r = 0 . 9 9 08 4 3 6 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 17 59.0 35 17.8 52 76.7 70 35.6 87 94.4 10 553 .3
0 .0 1
0 .3 7
0 .7 4
1 .1 0
1 .4 6
1 .8 3
2 .1 9 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.1 26 38.4 52 76.7 79 15.0 10 553 .3 -0 .32
-0 .16
0 .0 0
0 .1 6
0 .3 2

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 143
Таблица 9 . Параметры закона средней плотности в зависимости от ранга простого числа при вычитании
куска простых чисел с начала ряда
Ранг =
ߌ
Параметры закона (20) = Коэфф. =
коррел. = ߃ ߄ ߅ ߆ ߈ ߉
9594 1.97656е9 = 20.71434 = 0.031932 = 0.1145Q = 2.36110е -R= 1.000014 = 0.9908 =
-10M = 7.94109е8 = 21.09886 = 0.015636 = 0.077669 = 3.97150е -S= 1.0024U = 0.9998 =
-50M = 7.35371е8 = 21.12944 = 0.014381 = 0.072899 = 2.80031е -S= N= 0.9999 =
-1000 = 7.35995е8 = 21.12864 = 0.014377 = 0.072787 = 2.79174е -S= N= 0.9998 =
-3000 = 7.44131е8 = 21.12052 = 0.014393 = 0.072056 = 2.34586е -S= N= 0.9997 =
-5000 = 7.45392е8 = 21.11933 = 0.014398 = 0.071923 = 2.17614е -S= N= 0.9992 =
-7000 = 7.43687е8 = 21.12137 = 0.014406 = 0.071900 = 1.18849е -S= N= 0.9981 =
-8000 = 7.43133е8 = 21.12198 = 0.014409 = 0.071886 = 1.75706е -S= N= 0.9937 =
-9000 = 7.45367е8 = 21.11943 = 0.014399 = 0.071909 = 2.00953е -S= N= 0.9743 =

График закона (20) при ߌ = 100 … 9594 = Остатки от модели (20) при ߌ = 100 … 9594 =
= = График закона (20) при ߌ = 500 … 9594 = Остатки от модели (20) при ߌ = 500 … 9594 =
= = График закона (20) при ߌ = 1000 … 9594 = Остатки от модели (20) при ߌ = 1000 … 9594 =
= = График закона (20) при ߌ = 3000 … 9594 = Остатки от модели (20) при ߌ = 3000 … 9594 =S = 0 .0 0 0 2 5 7 9 4
r = 0 . 9 9 98 3 6 0 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
10 .0 17 65.8 35 21.5 52 77.3 70 33.0 87 88.8 10 544 .5
0 .0 9
0 .1 1
0 .1 3
0 .1 4
0 .1 6
0 .1 8
0 .2 0 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
10 .0 26 43.6 52 77.3 79 10.9 10 544 .5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 15 2 3 0
r = 0 . 9 9 98 7 7 3 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
50 .0 17 92.4 35 34.8 52 77.3 70 19.7 87 62.1 10 504 .5
0 .0 9
0 .1 0
0 .1 1
0 .1 2
0 .1 3
0 .1 4
0 .1 5 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
50 .0 26 63.6 52 77.3 78 90.9 10 504 .5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 13 6 3 2
r = 0 . 9 9 98 3 3 9 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
14 0.5 18 59.5 35 78.5 52 97.5 70 16.5 87 35.5 10 454 .5
0 .0 9
0 .1 0
0 .1 1
0 .1 1
0 .1 2
0 .1 2
0 .1 3 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
14 0.5 27 19.0 52 97.5 78 76.0 10 454 .5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 9 4 0 0
r = 0 . 9 9 96 8 4 4 2
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
23 40.5 36 59.5 49 78.5 62 97.5 76 16.5 89 35.5 10 254 .5
0 .0 9
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 1
0 .1 1
0 .1 1 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
23 40.5 43 19.0 62 97.5 82 76.0 10 254 .5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

144 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закона (20) при ߌ = 5000 … 9594 Остатки от модели (20) при ߌ = 5000 … 9594
График закона (20) при ߌ = 7000 … 9594 Остатки от модели (20) при ߌ = 7000 … 9594
График закона (20) при ߌ = 8000 … 9594 Остатки от модели (20) при ߌ = 8000 … 9594
График закона (20) при ߌ = 9000 … 9594 Остатки от модели (20) при ߌ = 9000 … 9594
Рис. 17. Графики средней плотности в зависимости от ранга простого числа
при вычитании куска простых чисел с начала ряда

Таблица 10 . Параметры закона средней плотности от нового ранга просты х чисел, оставшихся после вы-
чета начального куска из ряда простых чисел
Ранг =

Параметры закона (20) = Коэфф. =
коррел. = ߃ ߄ ߅ ߆ ߈ ߉
9594 1.97656е9 = 20.71434 = 0.031932 = 0.1145Q = 2.36110е -R= 1.000014 = 0.9908 =
-10M = 0.094778 = 0.045262 = 0.5159P = 0.1065Q = 1.71868е -S= 1.2236Q = 0.9992 =
-50M = 0.038142 = 0.006027P = 0.7147N = 0.1041N = 3.51313е -S= 1.1176N = 0.9998 =
-1000 = 0.025969 = 0.002543R = 0.7819V = 0.1012R = 7.71073е -S= 1.0015M = 0.9998 =
-3000 = 0.1052U = 0.00067629 = 0.6153M = 0.005186O = M= M= 0.9989 =
-5000 = 0.1013R = 0.00010661 = 0.7791R = 0.001887N = M= M= 0.9987 =
-7000 = 0.099210 = 3.00872е -R= 0.8934U = 6.38750е -S= M= M= 0.9981 =
-8000 = 0.097788 = 1.91120е -R= 0.9363R = 3.67479е -S= M= M= 0.9938 =
-9000 = 0.096635 = 1.10476е -R= 1.0137P = M= M= M= 0.9848 =
=0j S = 0 .0 0 0 0 7 8 7 7
r = 0 . 9 9 92 4 9 5 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
45 40.5 54 59.5 63 78.5 72 97.5 82 16.5 91 35.5 10 054 .5
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
45 40.5 59 19.0 72 97.5 86 76.0 10 054 .5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 5 7 0 3
r = 0 . 9 9 81 4 0 6 7
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
67 40.5 72 59.5 77 78.5 82 97.5 88 16.5 93 35.5 98 54.5
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
67 40.5 72 59.5 77 78.5 82 97.5 88 16.5 93 35.5 98 54.5 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 5 9 8 5
r = 0 . 9 9 36 8 6 7 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
78 40.5 81 59.5 84 78.5 87 97.5 91 16.5 94 35.5 97 54.5
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
78 40.5 81 59.5 84 78.5 87 97.5 91 16.5 94 35.5 97 54.5 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 4 5 9 7
r = 0 . 9 7 42 9 2 0 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
89 40.5 90 59.5 91 78.5 92 97.5 94 16.5 95 35.5 96 54.5
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
89 40.5 90 59.5 91 78.5 92 97.5 94 16.5 95 35.5 96 54.5 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 145
График закона (20) при ߌ = 0 … 9594 - 100 Остатки от модели (20) при ߌ = 0 … 9594 - 100
График закона (20) при ߌ = 0 … 9594 - 500 Остатки от модели (20) при ߌ = 0 … 9594 - 500
График закона (20) при ߌ = 0 … 9594 - 100 0 Остатки от модели (20) при ߌ = 0 … 9594 - 100 0
График закона (20) при ߌ = 0 … 9594 - 3000 Остатки от модели (20) при ߌ = 0 … 9594 - 3000
График закона (20) при ߌ = 0 … 9594 - 5000 Остатки от модели (20) при ߌ = 0 … 9594 - 5000 S = 0 .0 0 0 5 8 15 7
r = 0 . 9 9 91 6 6 3 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 17 40.8 34 81.5 52 22.3 69 63.0 87 03.8 10 444 .5
0 .0 9
0 .1 1
0 .1 3
0 .1 4
0 .1 6
0 .1 8
0 .2 0 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 26 11.1 52 22.3 78 33.4 10 444 .5 -0 .01
-0 .01
0 .0 0
0 .0 1
0 .0 1 S = 0 .0 0 0 2 0 6 4 9
r = 0 . 9 9 97 7 4 5 4
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 16 67.4 33 34.8 50 02.3 66 69.7 83 37.1 10 004 .5
0 .0 9
0 .1 0
0 .1 1
0 .1 2
0 .1 3
0 .1 4
0 .1 5 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 25 01.1 50 02.3 75 03.4 10 004 .5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 14 4 9 6
r = 0 . 9 9 98 1 2 2 0
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 15 75.8 31 51.5 47 27.3 63 03.0 78 78.8 94 54.5
0 .0 9
0 .1 0
0 .1 1
0 .1 1
0 .1 2
0 .1 2
0 .1 3 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 23 63.6 47 27.3 70 90.9 94 54.5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 17 4 2 6
r = 0 . 9 9 89 1 5 0 2
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 12 09.1 24 18.2 36 27.3 48 36.3 60 45.4 72 54.5
0 .0 9
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 1
0 .1 1
0 .1 1 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 18 13.6 36 27.3 54 40.9 72 54.5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 10 5 4 6
r = 0 . 9 9 86 5 3 9 9
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 84 2.4 16 84.8 25 27.3 33 69.7 42 12.1 50 54.5
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 Residuals
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 12 63.6 25 27.3 37 90.9 50 54.5 -0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

146 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
График закона (20) при ߌ = 0 … 9594 - 7000 Остатки от модели (20) при ߌ = 0 … 9594 - 7000
График закона (20) при ߌ = 0 … 9594 - 8000 Остатки от модели (20) при ߌ = 0 … 9594 - 8000
График закона (20) при ߌ = 0 … 9594 - 9000 Остатки от модели (20) при ߌ = 0 … 9594 - 9000
Рис. 18. Графики средней плотности с изменением начала координат
от нового ранга простых чисел, оставшихся после вычета начального куска из ряда

16. Сравнение с существующим законом
распределения . Неполнота известного закона рас-
пре деления простых чисел [22] состоит в следую-
щем [9]:
1) в порядке не учитывается нуль
(усеченный натуральный ряд чисел);
2) традиционный Гауссов ряд простых чисел
не учитывает нуль и единицу;
3) допущение о том, что « отношение к
при переходе от данной степени десяти к по-
следующей всё время увеличивается примерно на
2,3» является явно некорректным;
4) утверждение, что ~ , предло-
женное в 1896 году Гауссом, переводит простые
числа из десятичной системы счисления в систему
счисления с основанием ;
5) мощность простых чисел в ряду нату-
ральных чисел по порядка м приняты в десятич-
ной арифметике, а отношение - в системе
счисления натуральных логарифмов.
Для анализа адекватности существующего за-
кона воспользуемся данным таблицы 3 и резуль-
таты расчетов по формуле Гаусса приведем в таб-
лице 9.
Сразу же заметна причина, по которой Гаусс из
подаренной ему в 15 лет таблицы простых чисел
(была помещена в таблицу логарифмов) впослед-
ствии убрал цифру 1. В итоге оказалась исключен-
ной двоичная система счисления с кодами 0 и 1.
Дело в том, что число ߚි Ϲϸ ௅఼ි ϸ пока и у нас не
находит функционального объяснения, а логариф-
мирование числа ߚි Ϲϸ ஺ි Ϲ дает ߎߐϹි ϸ. В фор-
муле Ϲʆߎߐߚ поучаем ϹʆߎߐϹි с. Формула (5) с экс-
поненциальным первым членом не требует опера-
ции логарифмирования.
,...3,2,1n ,...7,5,3,2 ) (  n a x ) (x  ) (x  x x ln/ ... 71828,2e ) (x  x x x ln/ S = 0 .0 0 0 0 5 7 5 1
r = 0 . 9 9 81 0 8 5 6
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 47 5.8 95 1.5 14 27.3 19 03.0 23 78.8 28 54.5
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 47 5.8 95 1.5 14 27.3 19 03.0 23 78.8 28 54.5 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 5 9 19
r = 0 . 9 9 38 2 6 7 8
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 29 2.4 58 4.8 87 7.3 11 69.7 14 62.1 17 54.5
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 29 2.4 58 4.8 87 7.3 11 69.7 14 62.1 17 54.5 -0 .00
-0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0 S = 0 .0 0 0 0 3 5 4 1
r = 0 . 9 8 47 8 1 0 3
X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 10 9.1 21 8.2 32 7.3 43 6.3 54 5.4 65 4.5
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0
0 .1 0 X Axis (units)
Y A x is (u n it s )
0.0 10 9.1 21 8.2 32 7.3 43 6.3 54 5.4 65 4.5 -0 .00
-0 .00
-0 .00
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0
0 .0 0

American Scientific Journal № (21 ) / 201 8 147
Таблица 9 . Сравнение средней плотности простых чисел по разрядам десятичной системы счисления
Десятичная =
система = Ко -во =
простых =
чисел =
࡮(ߚ)ි ߌ+Ϲ
Средняя =
плотность =
࡮(ߚ)ʆߚ
Формула Гаусса =
~ =
Тренд =с двумя =
волнам и (5) =
ߚි Ϲϸ ౢ Ϲ
ߎߐߚ ි Ϲ
ߎߐϹϸ ౢ погрешн. =
хɧЮ
остаток =

погрешн. =
хɧЮ
−с ¶ · с ³ ³ ³ ³
¶ · ¸ ¸ с с ¶ 0.00
· 10 ¼ 0.¼ 0.4342¿ 27.6¸ 3.45171e ³¼ 0.00
¸ 10¶ 27 0.27 0.2171» 19.5¾ ³2.08919e ³» ³0.01
¹ 1000 17¶ 0.17 0.1447¼ 14.8º 8.30967e ³» 0.05
º 1000¶ 1231 0.1231 0.1085½ 11.8¶ ³0.00016233¼ ³0.13
» 10 5 9594 0.09594 0.08686 9.47 5.41529e -5 0.06
6 10 6 78500 0.0785 0.07238 7.79 0.000199039 0.25
8 10 8 5761457 0.0570 0.05429 4.76 -0.000347652 -0.61
10 10 10 455052513 0.0455 0.04343 4.55 0.000158705 0.35
12 10 12 37607912020 0.0377 0.03619 4.00 0.000125437 0.33
14 10 14 3204941750804 0.0320 0.03102 3.06 -0.000100194 -0.31

Чтобы показать применимость закона Гаусса,
в таблице 1 расчет начинается только со 100.
Но оказывается, что даже в натуральных чис-
лах мощностью 10 14 относительная погрешность
закона Гаусса равна 3.06%. В современной экспери-
ментальной математике такая высо кая погреш-
ность недопустима. А наш закон средней плотности
по формуле (19) дал максимальную относительная
погрешность всего 0.00262%.
17. Не менять шкалу отсчета натуральных
простых чисел . Эта рекомендация на будущее в
изучении простых чисел исходит из того, что, начи-
ная с Римана, применяют натуральный логарифм и
ищут эмпирическую формулу на преобразованной
шкале отчета.
Приведем цитату из статьи Дона Цагира [22]:
«Видно, что отношение x к π(x) при переходе
от данной степени десяти к последующей всё время
увеличивается примерно на 2.3. Математики сразу
узнают в числе 2.3 логарифм 10 (разумеется, по ос-
нованию e). В результате возникает предположе-
ние, что ~ , причём знак ~ означает,
что отношение соединённых им выражений с ро-
стом стремится к 1. Это асимптотическое равен-
ство, впервые доказанное в 1896 г., называется в
настоящее время законом распределения простых
чисел . Гаусс, величайший из математиков, открыл
этот закон в пятнадцатилетнем возрасте, изучая
таблицы простых чисел, содержавшиеся в подарен-
ной ему за год до того таблице логарифмов». В те-
чение всей своей жизни Гаусс живо интересовался
распределением простых чисел и пр оводил обшир-
ные вычисления для выяснения этого вопроса. В
своём письме к Энке Гаусс описывает, как он
«очень часто употреблял свободные четверть часа,
чтобы то там, то здесь просчитать хилиаду» (т.е. ин-
тервал в 1000 чисел), и так до тех пор, пока он не
наш ёл, наконец, все простые, меньшие трёх милли-
онов (!), и не сравнил полученные результаты с
предполагаемой формулой их распределения».
Именно после долгих размышлений К. Гаусс
исключил из ряда простых чисел цифру 1, так как
натуральный логарифм от 1 равен н улю и тогда от-
ношение ϹʆߎߐϹ ි Ϲʆϸ ි с. Но, признав суще-
ствовавшую до него ряд простых чисел с 1, Гаусс
вынужден был бы отказаться от своей теории при-
менения формулы ~ . Великий мате-
матик, как нам представляется, смущался этого сво-
его допущения и поэтому не публиковал свои изыс-
кания по простым числам.
18. Заключение . Экспериментальная матема-
тика с применением компьютеров
Литература
[1] В.И. Зенкин. Распределение простых чи-
сел, Элементарные методы. Калининград: 2008.
158 с.
[2] А.Н. Колмогоров. Математика в ее истори-
q_kdhfjZa\blbbFGZmdZk
[3] В.Н. Лаптев, А.Э. Сергеев, Э.А. Сергеев.
Теоремы П.Л. Чебышёва о распределении простых
чисел и некоторые проблемы, связанные с ними.
Научный журнал КубГАУ, №113(09), 2015. URL :
http ://ej.kubagro .ru/2015/09/ pdf /09. pdf .
[4] П.М. Мазуркин. Закономерности простых
qbk_e Germany : Palmarium Academic Publishing,
2012. 280 с. ISBN: 978 -3-8473 -9218 -7
[5]. П.М. Мазуркин. Закономерности целых
простых чисел. Влияние шкалы целых чисел на по-
ложительные и отрицательные ряды простых чи-
сел. Германия: Palmarium Academic Publishing ,
2015. 162 с. ISBN 978 -3-659 -60018 -0.
[6] П.Л. Чебышев. Теория чисел. URL: http://ru -
wiki.org/wiki.
[7] P.M. Mazurkin, “Wavelet Analysis of a Num-
ber of Prime Numbers.” American Journal of Numeri-
cal Analysis , vol. 2, no. 2 (2014): 29 -34. doi:
10.12691/ajna -2-2-1.
[8] P.M. Mazurkin, “Series Prim es in Binary.”
American Journal of Applied Mathematics and Statis-
tics , vol. 2, no. 2 (2014): 60 -65. doi: 10.12691/ajams -
2-2-2.
[9] P.M. Mazurkin, “Proof the Riemann Hypothe-
sis.” American Journal of Applied Mathematics and ) (x  x x ln/ i ) (x  x x ln/ x ) (x  x x ln/

148 American Scientific Journal № ( 21 ) / 201 8
Statistics , vol. 2, no. 1 (2014): 53 -59. doi:
10.12691/ajams -2-2-1.
[10] P.M. Mazurkin. Riemann’s Hypothesis and
Critical Line of Prime Numbers, Advances in Sciences
and Humanities. Vol. 1, No. 1, 2015, pp. 13-29.
doi: 10.11648/j.ash.20150101.12.
[11] P.M. Mazurkin. (2015). Integer prime num-
ber . European Journal of Engineering and Technology,
3 (1) , 31 -44.
[12] P.M. Mazurkin. Statistical modeling of en-
tire prime numbers / International Journal of Engineer-
ing and Technical Research (IJETR) ISSN: 2321 -
0869, Volume -2, Issue -8, August 2014. Р.148 -158.
[13] P.M. Mazurkin, “Block Structure of a Num-
ber of the Integers Prime.” Applied Mathematics and
Physics , vol. 2, no. 4 (2014): 135 -145. doi:
10.12691/amp -2-4-3.
[14] P.M. Mazurkin, “Chaos and Order in the In-
tegers Primes.” Applied Mathematics an d Physics , vol.
2, no. 4 (2014): 146 -156. doi: 10.12691/amp -2-4-4.
[15] P.M. Mazurkin, “Stable Laws and the Num-
ber of Ordinary.” Applied Mathematics and Physics ,
vol. 2, no. 2 (2014): 27 -32. doi: 10.12691/amp -2-2-1.
[16] P.M. Mazurkin, “Increment Primes.” Ameri-
can Journal of Applied Mathematics and Statistics , vol.
2, no. 2 (2014): 66 -72. doi: 10.12691/ajams -2-2-3.
[17] Mazurkin P.M. The Invariants of the Hilbert
Transformation for Wavelet Analysis of Tabular Data.
American Journal of Data Mining and Knowledge
Discovery in Vol. 1, Issue Number 1, December 2016.
Here offered the link: http://www.scie ncepublishing-
group.com/journal/paperinfo?jour-
nalid=603&doi=10.11648/j.ajdmkd.20160101.14
[18] P.M. Mazurkin. Wavelet Analysis Statistical
Data. Advances in Sciences and Humanities . Vol. 1,
No. 2, 2015, pp. 30 -44. doi:
10.11648/j.ash.20150102.11.
[19] P.M. Mazurkin. Method of Identification of
Wave Regularities According to Statistical Data (Of
Dynamics of a Rate of Inflation of US Dollar). Ad-
vances in Sciences and Humanitie . Vol. 1, No. 2, 2015,
pp. 45 -51. doi: 10.11648/j.ash.20150102.12.
[26] P.M. Mazurkin . Invariants of the Hilbert
Transform for 23 -Hilbert Problem, Advances in Sci-
ences 0nd Humanities. Vol. 1, No. 1, 2015, pp. 1-12.
doi: 10.11648/j.ash.20150101.11.
[21] Prime numbers. URL:
https://oeis.org/wiki/Prime_numbers (Дата обраще-
ния 29.11.2017).
[22] D. Zagier “The first 50 million prime num-
bers.” URL: http://www.ega -
math.narod.ru/Liv/Zagier.htm .
[23] W. Dunham. The number theorem. URL:
https://www.britannica.com/topic/number -
theory/Prime -number -theorem#toc233906 .