Американский Научный Журнал ЗАКОН СТЕФАНА — БОЛЬЦМАНА И ОЦЕНКА ИЗМЕНЧИВОСТИ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ БАРИОНОВ ВСЕЛЕННОЙ

Аннотация. В качестве начальных данных при описании изменчивости плотности энергии барионов по мере космологического расширения вселенной приняты планковские масса, объем и температура. Обозначены отдельные контуры описания эволюции модели вселенной через текущие значения безразмерных планковских величин массы, объема и температуры вселенной. Получены аналитические выражения для выделенных параметров: отношения объемных концентраций фотонов и барионов, объемной концентрации барионов и объемной плотности энергии барионов вселенной. Уравнение для объемной плотности энергии барионов учитывает начальные данные и падение температуры при расширении вселенной, а также изменчивость отношения числа фотонов к числу барионов на единицу объема изучаемой модели. Изменчивость данного отношения предложено вычислять через текущие значения безразмерной планковской массы бариона. Для нашей эпохи результаты вычисления выделенных параметров совпадают с известными числовыми оценками по порядку величины. Скачать в формате PDF
American Scientific Journal № ( 30) / 2019 37

ЗАКОН СТЕФАНА - БОЛ ЬЦМАНА И ОЦЕНКА ИЗМЕ НЧИВОСТИ ПЛОТНОСТИ Э НЕРГИИ
БАРИОНОВ ВСЕЛ ЕННОЙ

Кошман Валентин Семенович
канд. т ехн. наук, доцент,
Пермский государственный аграрно -технологический университет,
г. Пермь , Россия

STEFAN - BOLTZMANN LAW AND EVALUATION O F THE VARIABILITY OF THE ENERGY
DENSITY OF THE UNIVE RSE’S BARYONS

Valent in Koshman
Cand. Tech. Sci., Associate Professor,
Perm State Agrarian and Technological University,
Perm , Russia


Аннотация . В качестве начальных данных при описании изменчивости плотности энергии барионов
по мере космологического расширения вселенной п риняты планковские масса, объем и температура.
Обозначены отдельные контуры описания эволюции модели вселенной через текущие значе ния
безразмерных планковских величин массы, объема и температуры вселенной. Получены аналитические
выражения для выделенных па раметров: отношения объемных концентраций фотонов и барионов,
объемной концентрации барионов и объемной плотности энергии барионов вселенной. Уравнение для
объемной плотности энергии барионов учитывает начальные данные и падение температуры при
расширении вселенной, а также изменчивость отношения числа фотонов к числу барионов на единицу
объема изучаемой модели. Изменчивость данного отношения предложено вычислять через текущие
значения безразмерной планковской массы бариона. Для нашей эпохи результаты вычис ления
выделенных параметров совпадают с известными числовыми оценками по порядку величины.
Abstract. As initial data, Planck mass, volume, and temperature are taken to describe the variability of baryon
energy density during the cosmological expansion of t he universe. The evolution of the universe is described with
the current values of the dimensionless Planck quantities of mass, vo lume and temperature of the universe.
Analytical expressions for the selected parameters such as ratios of volume concentratio ns of photons and baryons,
volume concentration of baryons and volume density of baryons’ energy of the universe are obtained. The equation
for the volume density of baryons’ energy takes into account the initial data and temperature drop as the universe
expands, as well as the variability in the ratio of the number of photons to the number of baryons per volume unit
of the model bei ng studied. The variability of this ratio is proposed to be calculated through the current values of
the dimensionless Planck mass of the baryon. For our era, the results of calculation of the selected parameters
match with known numerical estimates in ord er of magnitude.
Ключевые слова: модель расширяющейся вселенной, реликтовое излучение, планковские величины,
закон Стефана – Больцмана, отнощение объемных концентраций фотонов и барионов, объемная
концентрация барионов, объемная плотность энергии барионов.
Keywords : model of the expanding Universe, relict radiation, Planck values, Stefan -Boltzmann law, ratio of
volume concentrati ons of photons and baryons, volume concentration of baryons, volume density of baryons’
energy

“Хотя эти уравнения, может быть, и
нуждаются в модификации, во введении
различных типов переменных, следует ожидать,
что основная структура уравнения (1) должн а
быть сохранена”.
Поль Адриен Морис Дирак

Количественное описание природы является
одной из основных задач физики и предполагает
поиск таких уравнений, которые в случае
нестационарных физических систем в виде
функций описывают переход от их начального
состояния как к текущим, так и к наблюдаемому
состоянию. На пути поиска ответа на очередной
космологичес кий вопрос обозначим исходные
позиции. По результатам наблюдений надежно
установлено, что объемная плотность энергии
барионов вселенной (видимого веществ а звезд,
галактик) ⥜ⷠⷬ ≈ ╾╽ ⵊⵀⵀ ⒞ⓔ ␋ⓚⵂ⏬ а реликтового
фотонного излучения (реликтовых фотонов) ⥜⸗ⷬ ≈
╾╽ ⵊⵀⵃ ⒞ⓔ ␋ⓚⵂ⏯ Эти числовые значения меняются с
космологическим временем t по мере снижения
температуры T при расширении вселенной [1]:

⥜⸗⟪⥁ⵃ⏭ (1)
⥜ⷠ⟪⥁ⵂ⏯(2)

В отличие от взаимосвязи (1) явный вид
функции (2) нам не известен. Целью работы
является выйти на зависимость объемной
плотности энергии барионов от определяющих её

38 American Scientific Journal № ( 30) / 20 19
факторов на пути максимального извлечения т ой
богатой космологической информации, которая
присуща наблюдаемому реликтовому излучению.
Если обратиться к аналогии, то можно
отметить, что когда имеется в виду изображение
кривой на обычной плоскости, то её достаточно
однозначно можно провести при нали чии данных
по координатам, как минимум, трех то чек. Тем не
менее, при подобном подходе определенные
сомнения в отношении действительного хода
кривой сохраняются. И здесь самая главная
трудность, с которой при поиске физических
законов “встречаются ученые , состоит в том,
чтобы найти такие общие принцип ы, из которых с
помощью некоторых правил соответствия можно
вывести логически эмпирически проверяемые
законы” [2]. В рассматриваемом нами случае - в
согласие с регистрируемым “чернотельным”
спектром реликтовог о фотонного излучения -
выделенной выше связи ( 1) в широком интервале
величин ⥜⸗ и T отвечает уравнение (закон) Стефана
– Больцмана [3,4]:

⥜⸗= ⷙ⼏ⷚ= ⸢⸹
ⵀⵄ⥒(ⷩ
ⷡⷦ)ⵂ⥁ⵃ⏯ (3)

По этой причине при поиске закономерности
для ⥜ⷠ особый интерес может предст авлять увязка
величин ⥜ⷠ и ⥜⸗, как минимум, при трех состояниях
вселенной, отвечающих температурам, в качестве
которых ниже принимаем температуры
планковскую Tp, рекомбинации ⥁ⷣⷯ и
регистрируемую ⥁ⷬ во вселенной при измерении
характеристик реликтового фотонного излучения.
Прежде чем обратиться к величинам,
установленным М. Планком при исследовании
проблемы равновесия между веществом и
излучением, кратко остановимся на сингулярном
“состоянии” вселенно й (и ли “состоянии” Большого
взрыва). В конце 1960 – х годов Р. Пенроузом
совместно с С. Хокингом были сформулированы
теоремы о сингулярности, в том числе и
невозможности избежать ее в космологических
моделях общей теории относительности (ОТО).
Сингулярност ь не избежно возникает при
продолжении назад во времени t каждого из
решений ОТО, описывающих динамику в моделях
расширения вселенной, когда при приближении к t
= 0 объем V вселенной устремляется к нулю, а
плотность ρ и температура T - к бесконечности [5].
А сл едовательно, в перспективе еще только
предстоит выяснить, что же происходило на этом
этапе на самом деле. Тем не менее, именно
благодаря ОТО наукой на повестку дня был
поставлен вопрос о рождении вселенной.
Планковское состояние вселенной отвечает
моме нту времени tp ~ 10 -43 с и в согласие с
известными ограничениями по применимости
современных физических теорий считается
наиболее ранним моментом, допускающим
описание вселенной. Планковское состояние
характеризуется конечными и внутренне
самосогласованным и пл анковскими величинами
температуры Tp, энергии Up = kTp, массы mp = Up /
c2, длины Lp и др. [1]. Как и уравнение (закон)
Стефана – Больцмана (3), планковские величины
параметров имеют непосредственное отношение к
фундаментальным постоянным физики. Здесь
важ нейшую роль играют скорость распространения
света в вакууме c = 3 · 10 8 м/с, гравитационная
постоянная G = 6,67 · 10 -11 м3/(кг·с 2), постоянная
Планка h = 1,054 · 10 -34 Дж·с и постоянная
Больцмана k = 1,38 · 10 -23 Дж/К.
Вместе с тем, заслуживает внимания мн ение,
высказанное Р. Пенроузом в одном из его интервью
в Москве: “Меня давно занимал парадокс, о
котором космологи почему - то говорить не любят.
Есть второй закон термодинамики: со временем все
в мире становится менее упорядоченным, более
случайным, то ес ть энтропия – мера беспорядка –
увеличивается. И если вы станете смотреть все
дальше в прошлое, вы должны видеть всё больше
порядка. То есть во время Большого взрыва и
вскоре после него вселенная должна быть очень
хорошо структуриров ана” [6].
Тогда (примен ительно к кругу элементарных
частиц на планковский момент времени) можно
ожидать выполнимость условия

⥂⸗ⷮ +⥂ⷠⷮ < ⥂ⷮ ⏬ (4)

где ⥂⸗ⷮ ⓖ ⥂ⷠⷮ – величины энергии планковс ких
соответственно ⧨ - частиц и ⥉ - частиц как
своео бразные доли планковской энергии
⥂ⷮ= (⥏⥊ⵄ␋⤴)ⵀ␋ⵁ. Можно заметить, что по своей
величине энергия Планка Up = kTp сопоставима [7]
с дульной энергией, характерной для
железнодорожной пушки “Дора”. Энергия
⥂⸗ⷮ присутствует в записи уравнения Стефана –
Больцмана с учетом гравитационной постоянной G
[8]:

⥜⸗= ⷙ⼏⻦ⷚ⻦(ⷘ
ⷘ⻦)

= ⥂⸗(ⵀ)▹⥕⸗= ⷩⷘ
ⷚ⻦(ⷘ
ⷘ⻦)

⏬ (5)

где ⥃ⷮ= ⥉ⷴ▹⤹ⷮⵂ- планковский объем; ⥉ⷴ -
коэффициент; ⥂⸗(ⵀ)- энергия единичного фотона;
⥕⸗- их объемная концентрация. В отличие от (3) в
уравнении (5) отражены ограничения на величины
входящих в него параметров (начальные данные в
модели расширения), и по этой причине уравнение

American Scientific Journal № ( 30) / 2019 39

(5) более информативно. Дейс твительно, анализ
данного уравнения позволяет прийти к выводу: за
время космологическо й эволюции температура
вселенной понизилась от планковской величины ⥁ⷮ
порядка 10 32 К до величины, присущей
остаточному фотонному 3К– излучению, а её объем
вырос от планковского ⥃ⷮ порядка 10 -105 м3 до
весьма большого числового значения. Данный
вывод согласуется с идейным содержанием модели
расширяющейся вселенной и благодаря
соображениям размерности стал возможным без
привлечения сложного математического аппарат а.
Уравнение (5) отвечает условию (4).
В уравнении Стефана – Больцмана (5) энергия
единичного фотона ⥂⸗(ⵀ)= ⧻⥒⥁ [4], а объемная
концентрация фотонов

⥕⸗= ⵀ
⸪ⷚ⻦(ⷘ
ⷘ⻦)

⏬ (6)

где ψ - некоторая функция. Принимаем ⧻= ╾и обращаем внимание на космологическую функцию

⥀= ⷬ⼏ⷬ⻘= ⷒ⼏ⷒ⻘ , (7)

где ⤻⸗и ⤻ⷠ- соответственно число фотонов и число барионов в объеме вселенной. Тогда объемная
концентрация барионов

⥕ⷠ= ⵀ
⷗ⷚ⻦(ⷘ
ⷘ⻦)

⏬ (8)

Для объемной плотности энергии барионов ⥜ⷠ
изве стно соотношение [1,4]: ⥜ⷠ= ⥂ⷠ(ⵀ)▹⥕ⷠ⏯ При
массе бариона ⥔ⷠ и его энергии ⥂ⷠ(ⵀ)= ⥔ⷠ⥊ⵁ имеем
математическое выражение для объемной
плотности энергии барионной компоненты материи
вселенной ⥜ⷠ:

⥜ⷠ= ⷫ⻘ⷡ⸹
⷗ⷚ⻦(ⷘ
ⷘ⻦)

⏬ (9)

которое при предельном переходе к её планковскому состоянию, если

⥀ⷮ= ╾; (10)
⤻⸗ⷮ= ⤻ⷠⷮ, (11)

отвечает связи (4). Запись вид а (11)
свидетельствует о том, что пра – Материю
вселенной, скорее всего, действительно
необходимо рассматривать структурно.
Однако остается открытым вопрос в
отношении входящей в уравнение (9) и
изменяющейся в пределах

╾≤ ⥀≤ ⥀ⷬ (12)

космолог ической функции ⥀. В настоящее время в
литературе единого мнения об её изменчивости
нет. . Одни авторы придерживаются мнения :
отношение

⥀ⷬ= ⷬ⼏⻤ⷬ⻘⻤ = ╾╽ ⵈ (13)

практически не меняется во времени [9]. Вместе с
тем, по данным работы [ 1] также можно выделить,
по крайней мере, три позиции: 1. Альтернативу
допущению, что (13) отр ажает начальные условия
выражает мнение: “На начальных стадиях
расширения Вселенной S, скажем, ~ 1, а при
последующей генерации тепла возросло до 10 9“. 2.
Привлек ает “значительно более общий подход к
пониманию значения S. Появление 10 9 фотонов на
каждый протон на ранних стадиях расширения
Вселенной – это часть большой тайны образования
самих протонов”. 3. “Мы не знаем, почему S именно
таково, но если б ы S было друг им, то Вселенная
выглядела бы совершенно иначе”.
Здесь обратимся к моменту рекомбинации.
Объемная плотность энергии фотонов равна
⥕⸗⥒⥁ [1,4], а плотность энергии барионного
вещества ⥕ⷠ⥔ⷠ⥊ⵁ[1,4]. Имеем их равенство при
температуре рек омбинации ⥁ⷣⷯ, когда
ⷩⷘ⻛⻧⷗⻛⻧ ⷫ⻘⻛⻧ ⷡ⸹= ╾. (14)

40 American Scientific Journal № ( 30) / 20 19
При числовых значениях ⥁ⷮ≈ ╾╽ ⵂⵁ ⒤, ⥁ⷣⷯ ≈ ▁▹╾╽ ⵂ ⒤ и ⥀ⷣⷯ ≈ ╾╽ ⵈ получаем
⥁ⷣⷯ ≈ ⥁ⷮ␋⥀ⷣⷯⵂ ⏬ что позволяет продолжить запись
(14):
ⷩⷘ⻦⷗⻛⻧ ⷗⻛⻧⸺ⷫ⻘⻛⻧ ⷡ⸹≈ ⷙ⻦ ⷗⻛⻧⸹ⷫ⻘⻛⻧ ⷡ⸹≈ ⷫ⻦ ⷗⻛⻧⸹ⷫ⻘⻛⻧ ≈ ╾. (15)

Если следовать условию (4), то масса
планковского бариона ⥔ⷠⷮ меньше планковской
массы ⥔ⷮ: ⥔ⷠⷮ < ⥔ⷮ. Прин имаем ⥔ⷠⷮ = ⥉ⷠ⥔ⷮ, где
⥉ⷠ – коэффициент. Тогда, переходя к текущим
значениям параметров, в согласие с (15) выходим
на искомое математичес кое выражение для
космологической функции ⥀:

⥀= (ⷫ⻘⻦
ⷫ⻘)ⵀ␋ⵁ. (16)

Здесь ⥔ⷠⷮ - масса планковского бариона, ⥔ⷠ -
масса бариона каждого из последовавших за
планковским поколений, ⥔ⷠ␋⥔ⷠⷮ - масса бариона,
выраженная в безразмерных единицах М. Планка.
В результате можно записать уравнения для
количественной оцен ки порядка текущих величин:
- объемной плотности эн ергии барионов
вселенной

⥜ⷠ= ⥔ⷠⵂ␋ⵁ▹⥊ⵁ
⥔ⷠⷮⵀ␋ⵁ▹⥃ⷮ
(⥁
⥁ⷮ)



- отношения объемных плотностей энергии барионов и фотонов

⥜ⷠ
⥜⸗= ⥔ⷠ▹⥊ⵁ
⥀⥒⥁ = ⥔ⷠⵂ␋ⵁ▹⥊ⵁ
⥔ⷠⷮⵀ␋ⵁ⥒⥁ = ⥔ⷠⵂ␋ⵁ
⥔ⷠⷮⵀ␋ⵁ⥔⸗


где ⥔⸗ - масса фотона.

Есть мнение [1], что в нашу эпоху видимое
вещество вселенной главным образом
представлено протонами. Имеем ряд числовых
значений: ⥔ⷮ= ╿⏬╾▅ ▹╾╽ ⵊⵇ кг;
⥔ⷠⷬ = ╾⏬▃▄ ▹╾╽ ⵊⵁⵆкг; ⤹ⷮ= ╾⏬▃╿ ▹╾╽ ⵊⵂⵄ м;
⥁ⷮ= ╾⏬▁╿ ▹╾╽ ⵂⵁ К, ⥁ⷬ= ╿⏬▄▀ К; ⥉ⷠ= ╽⏬╿▂ и
⥉ⷴ= (ⵃ⸢
ⵂ)= ▁⏬╾▅ . Для настоящего момента
времени ⥛ⷬ по результатам проведенных
приближенных расчетов имеем числовые значения
величин :

- космологической функции
⥀ⷬ= (╽⏬╿▂ ▹╿⏬╾▅ ▹╾╽ ⵊⵇ
╾⏬▃▄ ▹╾╽ ⵊⵁⵆ )
ⵀ␋ⵁ
= ╾⏬▅▹╾╽ ⵈ⏬

- числа барионов в еди нице объема вселенной

⥕ⷠⷬ= ╿⏬▄▀ ⵂ
╾⏬▅▹╾╽ ⵈ▹▁⏬╾▅ (╾⏬▃╿ ▹╾╽ ⵊⵂⵄ)ⵂ(╾⏬▁╿ ▹╾╽ ⵂⵁ)ⵂ= ╽⏬╿╿ ⓚⵂ⏬

- объемной плотности энергии видимого вещества вселенной
-
⥜ⷠⷬ= ╾⏬▃▄ ▹╾╽ ⵊⵁⵆ(▀▹╾╽ ⵇ)ⵁ▹╿⏬▄▀ ⵂ
╾⏬▅▹╾╽ ⵈ▹▁⏬╾▅ (╾⏬▃╿ ▹╾╽ ⵊⵂⵄ)ⵂ(╾⏬▁╿ ▹╾╽ ⵂⵁ)ⵂ== ▀⏬▀▹╾╽ ⵊⵀⵀ ⒞ⓔ
ⓚⵂ⏬

- отношения плотностей энергии барионов и фотонов
-
⥜ⷠⷬ
⥜⸗ⷬ= ╾⏬▃▄ ▹╾╽ ⵊⵁⵆ(▀▹╾╽ ⵇ)ⵁ
╾⏬▅▹╾╽ⵈ▹╾⏬▀▅ ▹╾╽ ⵊⵁⵂ ▹╿⏬▄▀ = ╿⏬╿▹╾╽ ⵂ⏯
Из литературы для выделенных нами параметров известны величины:
⥀ⷬ≈ ╾╽ ⵈ[╾⏬▁]⏬⥕ⷠⷬ ≈ ╽⏬╾▄ ⓚ [▀]⏬⥜ⷠⷬ ≈ ╾╽ ⵊⵀⵀ⒞ⓔ
ⓚⵂ [╾] ⓖ⥜ⷠⷬ
⥜⸗ⷬ≈ ╾╽ ⵂ[╾]⏬

American Scientific Journal № ( 30) / 2019 41

которые согласуются с результатами вычис ления в
диапазоне погрешностей наблюдательных данных.
Вместе с тем, как и в ситуации, имеющей
отношение к эпиграфу [10, с. 110], полученные
нами при проведении исследования уравнения (8),
(9) и (16) отвечают решению задачи т олько в
первом приближении.
В за ключение можно отметить следующее.
Очевидно, что “точка опоры” проведенного
исследования лежит вне круга работ, выполняемых
в рамках сложившейся традиции. Подобное вряд ли
можно признать недопустимым. В космологии и в
иных о траслях науки на сегодняшний ден ь, как и
ранее, необходимы и “мозговые штурмы”, а для
каждой из отраслей – и “веер идей”, а также их
проверка, широкое обсуждение, одобрение либо
опровержение. При поиске физической истины на
пути дешифровки закодированного в природе
желательны допущения, предположения, гипотезы
(и исследование космологической эволюции
вселенной здесь не является исключением). Выше
задача решается в предположении: поскольку в
согласие со вторым законом термодинамики пра –
Материю вселенной до пустимо рассматривать
структурно , полагаем, что на планковский момент
времени произошел термоядерный взрыв,
благодаря которому с началом расширения, с одной
стороны, возникло фотонное излучение и
“приступил к работе” закон Стефана – Больцмана,
а с другой, имел место каскад мгновенных
рад иоактивных распадов весьма нестабильных
барионов по мере их лавинообразного образования.
На наш взгляд, полученное при проведении
исследования уравнение для объемной плотности
энергии барионов вселенной выражает фрагмент
пре дполагаемого на языке математики . При выходе
на искомое уравнение автор стремился к тому,
чтобы “все действия оказались логически
обоснованными”. Если предлагаемое отвечает
реальности, то нельзя исключить и возможность
того, что обозначенный выше путь може т оказаться
полезным при постиже нии сущности изучаемых в
космологии процессов и явлений.

Список литературы:
1. Девис П. Случайная Вселенная / пер. с
англ. М. : Мир. 1985. 160 с.
2. Рузавин Г.И. Методы научного познания.
М.: Мысль. 1974. 237 с.
3. Вайнберг С. Космология / пер. с англ. М.:
ЛИБРИКОМ . 2013. 608 с.
4. Иванов Б.Н. Законы физики: учебное
пособие. М.: Высшая школа. 1986. 335 с.
5. Большой взрыв [Электронный ресурс].
URL : https://ru.wikipedia.org/wiki/ Большой взрыв
(дата обращения 16.09.2019).
6. Парадоксы стрелы времени [Электронный
ресурс]. URL :
file :/// C:/Users /user /Desktop Парадоксы стрелы
времени (Сергей Горский Москва) _ Проза.ру. html
(дата обращ ения 18.09.2019).
7. Планковская энергия [Электронный
ресурс]. URL :
https://ru.wikipedia.org/wiki/ Планковская энергия
(дата обращения 7.10.2019).
8. Кошман В.С. Планковские величины,
закон Стефана – Больцмана и гипотеза о рождении
вселенной // American Scientific Journal. 2019. № 29.
Vol . 2. P. 64 - 69.
9. Новиков И.Д. Эволюция Вселенной. М.:
Наука.1990. 192 с.
10. Дирак П.А.М. Можно ли использовать
уравнения движения в физике высоких энергий? //
Воспоминания о необычной эпохе / пер. с англ. М.:
Наука. 1990. 208 с.