Американский Научный Журнал ИССЛЕДОВАНИЕ ТОПОЛОГИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ (33-39)

American Scientific Journal № ( 36) / 2020 33

ХИМИЯ

УДК 541.123.7:543 .226.1

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОПОЛОГ ИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ
КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТ РИИ

Гасаналиев А.М., Гаматаева Б.Ю.
Гасаналиева П.Н., Гаматаев Т.Ш.
Дагестанский государственный педагогический университет,
НИИ «Общей и неорганической химии»,
Россия, Махачкала

Аннотация . Проведен анализ методов комбинаторной геометрии используемых при изучении
топологии многокомпонентных солевых систем. Приведена топологическая схема комплекса на примере
пятерной взаимной системы Na ,K,Ca ,Ba //Cl,MoO 4
Ключевые слова : топология, ди аграмма, компонент, матрица, симплекс, полиэдр, триангуляция,
комплекс, граф.

В физико -химическом анализе МКС уделяется
много внимания геометрии диаграмм состояния, в
которой каждый ее элемент описывает поведение
системы в тех или иных физических условиях [1].
При этом используете понятие топологии диаграмм
состояния, под которым обычно понимают
множество линий и поверхностей (многообразий).
Для последней оп ределяются отношения
инцидентности. Существование материального
баланса в МКС оценивается в результат е
термодинамического и алгебраического анализа.
Целенаправленная интерпретация опытных данных
в последнем случае делает возможным применение
дискретных мод елей. В них может быть
закодирована информация о базовой структуре и
возможности прогнозирования базо вого состава в
результате превращений в системе под
воздействием различных факторов, например,
температуры.
При алгебраическом анализе исследователь
вправе рассматривать ограниченные твердые
растворы на основе тех или иных солей и
комплексообразователей, м ежду которыми могут
идти химические реакции, влекущие за собой и
фазовые реакции. Кроме того необходимо учесть и
наличие систем, которые не образуют баз
переменного состава, кроме расплава. Вследствии
этого актуальным является задача изучения
топологии с т очки зрения реакционноспособности
групп солей и соединений.
Пусть задана n-компонентная система с
числом P+I соединений ( P>n) –солей и
комплексными соединен иями. Тогда формуле
соединения соответствует строка в прямоугольной
матрице:
A=||aij || (i=0, … , n; P=0, … , P), aij≥ 0 (1)
Где aij –количество i-ого компонента в j-ом
соединении (предполагается, что компоненты и
соединения пронумерованы
и i и j –номера с оединений.

В этой матрице, составленной для солевых
систем между строками и столбцами имеется
линейн ая зависимость, позволяющая каждый
столбец вырезать в виде линейных комбинаций
остальных столбцов.Поэтому в матрице A для
последующих построений нужно выче ркнуть
любой столбец и представить ее в урезанном виде.
Матрицу A будем называть матрицей составов
системы. В ней каждая строка соответствует
формуле соединения или соли, между которыми
можно написать уравнения линейной зависимости,
поскольку между любыми n + 2 строками, согласно
доказанному в линейной алгебре, можно написать
также равенство[2,3].Обозначи м i-ую строку
матрицы A, соответствующую соединению и
являющуюся координатной точки в n –мерном
проективном пространстве через Aj.
Следовательно, можно сос тавить систему
линейных алгебраических уравнений
n+1
Σ αk a i k j = 0 (j=0, … ,n), (2)
k=0
имеющую хотя бы одно нетривиальное
решение.
Принимая
ai00ai01…….. ainn
αn+1=||
ain0ain1…….. ainn
по правилу Кремера имеем

34 American Scientific Journal № ( 36) / 2020
ai00 ……. ai 0n
aik-10 ……. ai k-1n
ain+1 0…….ai n (3)
aik+1 0…….ai k+1 n
ain0 …….ai nn
αk
При этом для соединений Ai0,…, Ain+1 можно
написать ур авнение линейной зависимости:
n
Σ αkAik = αn+1Ain+1 (4)
k=0
Оставив в каждой части этого уравнения
члены с коэффициентами одного и того же знака,
получим стехиометрическое уравнение
Σ βρ AP = Σβ λAλ (5)
ρ x
В геометрическом смысле это соответствует
паре пересекающихся в точке симплексов, где под
β и λ подразумеваются индексы i0 ,…, in + I. Эта
точка является точкой конверсии.
Пример.
CaCl 2(0) NaCl (1)

CaF 2(2) NaF (3)
Рис. 1
Пусть геометрически система представлена в
виде квадрата (рис. 8)
Матри ца определяется формулами солей:

Cl F Na Ca
CaCl 2 2 0 0 1
NaCl 1 0 1 0
CaF 2 0 2 0 1
NaF 0 1 1 0
Вычеркивая последний столбец в соответствии
с вышесказанным, получим следующую матрицу
составов системы
CaCl 2 2 0 0 0
NaCl 1 0 1 1
CaF 2 0 2 0 2
NaF 0 1 1 3

Уравнение линейной зависимости получается
в результате решения системы линейных
алгебраических уравнений:
α1• 2 + α2I = 0
α3 • 2 + α4 I = 0
α3 • 2 + α 4 I = 0

American Scientific Journal № ( 36) / 2020 35

Пусть α 4 = 2 0 0
1 0 1 = - 4
0 2 0

Тогда 0 1 1 2 0 0 2 0 0
α1 1 0 1 =2, α 2 = 0 1 1 = -4, α 3= 1 0 1 = -2
0 2 0 0 2 0 0 1 1

Полученные стехиометрические
коэффициенты используются в уравнении
линейной зависимости следующим образом:
+4NaF + CaCl 2 – 4NaCl – 2CaF 2 = 0,
т.е.
4NaF + 2 CaCl 2↔ 4NaCl + 2 CaF 2

Таким образом, определит ели ( n + I)-го
порядка матрицы A позволяют вычислить с
точностью до подобия стехиометрические
коэффициенты в уравнениях реакций. Правая часть
в уравнении определила один симплекс пары ( NaF ,
CaF 2), а левая часть другой симплекс ( NaCl , CaF 2),
которые пересек аются в точке конверсии.
Определ ение. Множество таких пар симплексов с
нульмерным пересечением (точки конверсии)
будем называть системой реакции и обозначать его
k̅n,p. Сюда относится и такая ситуация, когда точка
лежит внутри симплекса, т.е. элемент в k̅n,p
формируется следующим образом : ������������ ������������������
������������������ ������������
Определение. Замкнутое выпуклое множество
точек (составов), для которых существует хотя бы
одна неотрицательная линейная комбинация от
каких -либо точек Ai, называется полиэдром
составов.
Прим ером полиэдра составов является призма
2//4 по классификации Рад ищева [4,5].
Симплексу соответствует
нереакционноспособная ассоциация фаз или
соединений (солей, комплексообразований).
С этой точки зрения В.П.Радищевым и Н.С.
Курнаковым были введены триангу ляции полиэдра
составов. Триангуляцию, под которой понимают
разб иение полиэдра составов на n –мерные
симплексы или клетки (объединенные n-
симплексов), будем обозначать через k̅n,p. В нашем
случае вершинами триангуляции могут являться
только точки А i(i=0,…, P), т.е. соль и
комплексообразования.
Определение. Множество ко мплексов системы
реакций из k̅n,p, не входящих в данную
триангуляцию, т.е. состоящую из нестабильных
симплексов, назовем ее дополнительным
комплексом. Например, для триангуляции
полиэдра рис .2 дополнительный комплекс дан на
рис.3


Рис.3 Рис. 2

КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ
(МАТРИЦ СОСТАВОВ)
Доказано, что ( n+1) – определителей
достаточно для описания реакций независимо от
размерности симплексов (ассоциаций) пар. В
комби наторном смысле достаточно знать только
знак того или иного (n + 1) – определителей.
Поэтому вся информация о ком -либо бинаторных
свойствах матрицы составов можно задать графом
Gpn, который введен Л.Г. Краевой [2,3].

36 American Scientific Journal № ( 36) / 2020
В вершинах графа ставятся индексы ( n + I) –
определителя. Две вершины смежны, если
соответствующие им определители имеют n общих
строк. В геометрическом смысле это означает, что
n – симплексы, натянутые на точки -строки
матрицы, имеют общую гипергрань. Далее
сравниваем знаки ( n + I) – определите лей. Если при
одинаковой расстановке и общих строк знаки
оди наковые, то n – симплексы находятся по одну
сторону от общей гиперграни следовательно
исключают друг друга из одной триангуляции. В
противном случае, т.е. при разных знаках,
симплексы находятся по разным сторонам от
общей грани и могут войти в одну триангу ляцию. В
первом случае в графе Gpn две соответствующие
вершины соединяем сильным ребром. Например,
для рис. G32 граф G32 представлен на рис.4.

Рис.4

Простейшие свойства графа:
1. Граф не изме няется при перенумерации
компонентов и соединений (солей и
комплексообразований).
2. Если какой -либо ( n + 1) – определить равен
нулю, то соответствующей вершине в графе нет. Но
при этом число ребер, исходящих из вершин, не
больше ( n + I) • (P - n) и кроме того не меньше P –
n.
3. Сколько бы не было нулевы х ( n + I)–
определителей граф Gpnостается связным.
Расстоянием между вершинами графа называется
минимальное число ребер среди всех путей в графе.
Можно доказать , что расстояние в графе Gpn равно
t, если ср еди их индексов есть точно n-t+I общих.
4.Полным подграфом называется часть графа,
в которой все вершины смежны, т.е. попарно
соединены ребром. Полный подграф называется
максимальным, если в графе нет больше ни одной
вершины, которая была бы смежна с каждо й
вершиной подграфа.
В Gpn все максимальные полные подграфы
могут быть только двух видов: подграфы вида рис.5
и подграфы вида рис.6.

Рис.5 Рис. 6

В прилагаемой здесь программе машина
выбирает только подграфы ри.12, т.е. только
элементы системы ре акций. Для каждого слабого
подграфа берутся одинаковые для всех вершин
индексы. Они и определяют симплексы реакций.
Например, в графе рис.5 один слабый подграф
(левый) имеет общие индексы 03, а второй
(правый) -12. Это значит, что симплексы A0 A3 и
A1A2 иск лючают друг друга из триангу ляции, т.е.
пересекаются в точке конверсии (рис.6).
Если есть информация и разбиении границы
полиэдра, то имея все множество триангуляций
простым сравнением на инцидентность, можно
выделить те триангуляции, которые включают в
себя элементы разбиения границ ы. При этом
выделяются только те реакции из системы
k̅n,p,сдвиг которых по границе предсказать нельзя.
Это означает, что выделяются элементы из
k̅n,pсреди которых без привлечения других
воображений, например, опыта нельзя написа ть
дополнительный комплекс. На основе
вышеизложенного можно сформулировать
следующие правила:

American Scientific Journal № ( 36) / 2020 37

1. Все нестабильные элементы границы
полиэдра входят в дополнительный комплекс.
2. Пусть в k̅n,pвходит пара симплексов, из этой
пары включает в дополнительный ком плекс такой
симплекс, что гр аница его стабильна, а
внутренность исключается вторым симплексом
(при условии, что он стабилен).
3. Если выбор из пары симплексов из k̅n,p
неоднозначен в силу того, что они имеют
одинаковую размерность, то нужен опыт
соответств ующего элемента дополнительн ого
комплекса. Если размерность симплексов пары из
k̅n,p разные, то в качестве стабильного выбираем
симплекс меньшей размерности. Тогда второй
симплекс пары входит в дополнительный
комплекс.
В качестве примера рассмотрим систему Na , K,
Ca , Ba ||Cl, MoO 4 для которой известно разбиение
для двумерной границы. Найдем систему
пересечений k̅4,13 для этой солевой системы. Среди
ее элементов есть, например, элемент,
определяющий следующую реакцию.
(NaCl) 2 + K 2MoO 4 •BaMoO 4 = BaCl 2 + Na 2MоO4 + K 2MoO 4
Полагаем, ч то сдвиг ее влево. Проверяем на
стабильность ребра треугольника. Пара солей
BaCl 2-Na 2MoO 4 нестабильна по исходным данным.
Поэтому из булева произведения этот треугольник
опускаем. Умножение на него результата не
изменит. Среди прочих элементов системы
пере сечений есть такой:
2CaCl 2 + K 2MoO 4 • Ba MoO 4 ↔2CaMoO 4 + (KCl) 2 • BaCl 2
Чтобы определить сдвиг этой реакции, нужен
опит. Рассмотрим далее, например, элемент
системы пересечений:
(KCl )2 • 2 CaCl 2+( NaCl )2+BaMoO 4↔CaCl 2+BaCl 2+Na 2MoO 4•K2Mo O4
Этот элемент представляет собой пару
пересекающихся в точке треугольников. Ребро
CaCl 2-BaCl 2 нестабильно. Поэтому предполагает
сдвиг реакции влево. Но правую часть в
дополнительный комплекс не включаем. Далее
пару треугольников получим и для реакции
Na 2MoO 4+BaMoO 4+( KCl )2•2 CaCl 2=( NaCl )2+2 CaCl 2+K2MoO 4•BaMoO 4
Все ребра этих треугольников стабильны.
Поэтому для формирования дополнительного
комплекса нужно определить сдвиг (нужен опыт).
Рассмотри элемент
Na 2MoO 4•K2MoO 4+BaCl 2•CaCl 2=K2MoO 4•BaMoO 4+( NaCl )2+CaCl 2
Предполагаем, что сдвиг происходит в сторону
симплекса меньшей размерности. Но ребра
треугольника по исходным данным стабильны.
Поэтому открытый треугольник включается в
дополнительный комплекс, а в булево
произведение -дизъюнкцию (сумма).
K2MoO 4•BaMoO 4+( Na Cl)2+CaCl 2
Согласно приведенным правилам формируем
логическое уравнение, а затем раскрываем скобки.
В результате получим сумму, для каждого из
слагаемых которого берем дополнение. Получим
разбиение полиэдра составов, для которого можно
выписать нерв.
Имея дополнительный комплекс, далее нужно
составить булево произведение сомножителей вида
(Ai +…+ Aik), где симплекс Ai…. Aik нестабилен, а
граница его стабильна.
Упорядочив множество вершин комплекса kn,p
, обозначив их, например, натуральным числом, мы
можем дл я каждой вершины A составить
сомножители вида:
(Bi+Bj, + … + Bjk +Bp 1 … Bpn 1) (Bi+Bt, + Btg ) ,
где jρ, ρλ, tφ –номера вершин следующих за
ней: затем скобки перемножаем, применяя каждый
раз закон поглощения. Выписываем теперь для
каждого слагаемого полученной минимальной
формы номера вершин, не входящие в него, мы
получим все n-мерные симплексы (клетки)
разбиения.
Найдем 5 -мерные симплексы комплекса
представленного на рис.___ а предположении, что
треугольник 3 -5-10 в комплекс не входит (имеется
в виду открытый треугольник). Тогда можно
написать:
Ʌ(Ψ)=( B1+B6B7B8B10B11B12)(B3+B6+B8+B12)(B5+B11)(B6 +B9)+ B11B12)(B8+B9B11)(B3+B5+B10).
Умножение, например, первых двух скобок
дает:

38 American Scientific Journal № ( 36) / 2020
B1B2+B1 B8 B11 B12+B6 B7 B8 B10 B11 B12
Раскрывая последовательно все скобки, мы в
кон це концов придем к выражению:
Ʌ(Υ)= B1B2B3B5B6B8+B1B2B3B6B8B11+ B1B3B6B8B11B12+
+B1B3B8B9B11B12+B1B2B3B6B9B11+B1B2B3B9B11B12+B1B2B5B6B8B12+
+B1B5B6B8B11B12+B1B6B8B10B11B12+B6B7B8B10B11B12
Выписывая теперь 10 сочетаний индексов,
отсутствующих в соответству ющих слагаемых, мы
получим 5 -мерные симплексы нашего комплекса,
натянутые на связующие совокупности верши н:
4,7,10,11,12; 4,5,7,9,10,12; 2,4,5,7,9,10;
2,4,5,6,7,9,10; 2,4,5,6,7,10; 4,5,7,8,10,12; 4,5,6,7,8,10;
3,4,7,9,10,11; 2,3,4,7,9,10; 2,3,5,7,9; 1,2,3, 4,5,9.


Топологическая схема (нерв) этого комплекса
приведена на рис.7

Список литературы :
1. Курнаков НС. Избранные труды: В 3 Т. –М
АН СССР.1960.

American Scientific Journal № ( 36) / 2020 39

2. Краева А.Г. О комбинаторной геометрии
многокомпонентных систем // Журнал геол. и
геофиз. –1970. -№7, С. 121 -123.
3. Кпаева А.Г., Давыдова Л.С. и др. Методы
разбиения (триангуляции) диаграммы со става
многокомпонентных взаимных систем с
комплексными соединениями с применением
графов и ЭВМ // Докл. АН СССР, - 1972. –Т. 202. -
№4, -С. 850 -853.
4. Радищев В.П. О мето дах изобретения
пятерных взаимных систем // Изв. сектора физ -хим.
Анализа. -1936 Т. 9 –С 219 -263.
5. Радищев В.П. О стабильном комплексе
пятерных взаимных систем из девяти солей// Изв.
АН СССР отд. Матем. и естеств. наук – 1936 Т. 1.
С. 153 -192.