Американский Научный Журнал СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРИЛИВНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЯХ ЗЕМЛИ

Аннотация. Во всех приповерхностных геофизических полях Земли под действием сил гравитационного взаимодействия планет Солнечной системы и вследствие вращения Земли наблюдаются приливные явления. Мониторинг параметров этих явлений необходим для обеспечения нормального функционирования сложных технических систем. В статье рассмотрены различные подходы к решению этой задачи на основе критериев: минимума среднего квадрата, максимума функции правдоподобия и максимума отношения сигнал/шум. Показано, что метод узкополосной фильтрации является наиболее эффективной процедурой непрерывного анализа экспериментальных данных. Скачать в формате PDF
American Scientific Journal № (27 ) / 201 9 29
УДК 681.511
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ ПАРА МЕТРОВ ПРИЛИВНЫХ ЯВЛЕНИЙ В
ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛ ЯХ ЗЕМЛИ

Ефимов Владислав Алексеевич
Кандида т техни ческих наук
Владимирск ий государственн ый университ ет
г.Владимир

Аннотация . Во всех приповерхностных геофизических полях Земли под действием сил
гравитационного взаимодействия планет Солнечной системы и вследствие вращения Земли наблюдаются
приливны е явления. Мониторинг параметров этих явлений необходим для обеспечения нормального
функционирования сложных технических с истем. В статье рассмотрены различные подходы к р ешению
этой задачи на основе критериев: минимума среднего квадрата, макс имума функции правдоподоб ия и
максимума отношения сигнал/шум. Показ ано, что метод узкополосной фильтрации является наиболее
эффективной процед урой непрерывно го анал иза экспериментальных данных.
Ключевые слова : приливные явления , гармонический анализ сигналов пр иливных явлений и оценка
их параметров, критерии эффективности обнаруж ения, спек трально -временной анализ нестационарных
процессов, согласованная фильтрация.

Введение.
Любой физический эксперимент направлен на
получение качестве нной и количественной
информации об объекте исследования на основ е
анализа пол ученных экспериментальных данных.
Результат анализа зависит от того, н асколько точно
соответствует метод обработки , базирующийся на
принятой математической модели исследуемого
явления , его физической сущности.
Мат ематическая модель есть аналитическое
описание физического эксперимента. Она не
опред еляется однозначно исследуе мым явлением и
никогда не отраж ает всех его свойств и
особенностей. Это обстоятельство порождает
разработку множеств а математических моделей и,
соо тветственно, способов обработки
экспериментальных данных для исследования
одного и того же явления. Вм есте с тем существует
известный консерватизм в практическом
применении м етодов анализа . Так, например, при
изучении приливных явлений в геофизич еских
полях широко применяется критерий минимума
средних квадратов . Одн ако возможно
испол ьзование иных процедур обработки
экспериментальных данных , которые позволяют
получить более надежные р езультаты.
Модели сигналов приливных явлений .
Приливные явления наблюдаю тся во всех
геофизических полях Земли. В соответствии с [1]
физи ческ ая модель группов ого приливн ого
процесс а есть сумма гармонических колеб аний

�(�)= ∑ ����� (���+�) �=1 , (1)

где t – текущее время ; j – номер прилива в
гру ппе; aj ,ωj ,φj – амп литуда, угл овая скорость и
начальная фаза j-той составляющей группов ого
приливного явления s(t), N – число учитываемых
компонент . Часть параметров в модели (1) задаю тся
достаточно точно. Значения ωj и φj определяются
аналитически из ур авн ений гравитацион ного
взаимодействия Луны и Земли при их орбитальном
движении в Со лнечной системе [2]. Эти параметры
стабильны во времени, в то время как aj зависит от
географических координат, типа геоф изического
поля и множества неизвестных факторов. Принято
считать, что aj есть величина п остоянная, по
крайней мере , на интервале анализа . Однако при
длительных н аблюдениях (годовых и более) это
утверждение не соответствует действительн ости.
Поэтому динамика амплитуд составляющих
приливных явлений предста вляет научный и нтерес
и может учитыва ться при фундаментальных
астроном ических наблюдениях, изучении
процессов пр ецессии и нутации мгновенной оси
вращения Земли в пространстве, высок оточном
нивелировании, в гидрологии и вулканологии, при
гравиметрической раз ведке и изуче нии внутренней
структ уры Земли .
На практике р езультаты экспериментальных
измерений интенсивности геофизических полей
y(t) принято рассматривать в виде аддитивн ой
смес и полезного сигнала s(t), случайного «дрейфа
нуля» измерительного прибора d(t), ре зультата
воздействия на измерительную систему
метеофакторов e(t) и случайной гауссов ой
компонент ы n(t), то есть

�(�)= �(�)+�(�)+�(�)+�(�)= �(�)+(�). (2)

Если на интервале наблюдени я Т амплитуд у j–
той соста вляющ ей групп ового приливн ого явл ения
рассматривать как неизвестную и
неизменя ющуюся во времени величин у ajx
(процесс , по меньшей мере , локально стаци онарен) ,
то её математическая модель в соответствии с (1)
может быть зап исана в виде

30 American Scientific Journal № ( 27 ) / 20 19
��(�)= ����� (���+�). (3)

С учетом моделей (1), (2) и (3) рассмотрим
алгоритмы оценки величины ajx при обработке
экспериментальных данных процедурами,
основанными на критериях: минимума среднего
квадрата , максимума функции правдопод обия и
максимума отнош ения сигн ал/шум.
Процедура о ценк и ajx по критерию минимума
среднего квадрата .
В соответствии с этим критерием усредненное
по интервалу анализа Т квадратичное значение
функции невязки экспериментальных данных y(t) и
модели (3) равно

�(��)= 1
�∫ [�(�)−��(�)]2��

0 = 1
�∫ �2(�)�� +1
�∫ ��2(�)�� −

0

0
−1
�∫ 2�(�)��(�)�� −1
�∫ 2(�)��(�)�� �
0

0 = 1+2+3+4 . (4)

Минимум функции R(ajx) по координате ajx,
находится градиентным мет одом поиска
∂�(��)
∂�� = ∂�1∂��+ ∂�2∂��+ ∂�3∂��+ ∂�4∂��= 0 ;
∂�1∂��= 0;∂�2∂��= 2
�∫ ����� 2(���+�)�� �
0 ;
∂�3∂��= −2
�∫ ����� 2 �
0 (���+�)�� −2
�∫ ∑ ����� (���+�)��� ( −1 �=1≠� �
0 ���+�)��;
∂�4∂��= −2
�∫ (�)��� (���+ �
0 �)��. (5)
Из ( 5) следует
�� ⋅= ��⋅+2
�∫ ∑ ����� (���+�)��� (���+�)�� +
−1
�=1≠�

0
2
�∫ (�)��� (���+�)��,

0
где = 2
�∫ ��� 2(���+�)�� �
0 = 1− 1
2���[��� 2(���+�)−��� 2�]. (6)

При ωjT » 1, что всегда наблюдается на
практике, I ~ 1 и оценка амплит уды j – той
составляющей приливного явл ения равн а

�̂�= ��+2
�∫ ∑ ����� (���+�)��� (���+�)��
−1
�=1≠�

0 +
+2
�∫ [�(�)+�(�)] �
0 ��� (���+�)�� +2
�∫ �(�)��� (���+�)�� �
0 . (7)

Для точного выполнения равенства I = 1
необходимо выбрать время анализа равным
Т = π /ωj.
Ан ализ выражения (7) показывает, что
погрешность оценки амплитуды �̂� зависит от
величины , пропорциональной корреляции j – той
составля ющей с остальными N-1 компонент ами
группового приливного явления , «дрейф ом нуля»
измерительного прибора , в том числе и под
влияни ем метеофакторов и шумовой
составляюще й. С частотной точки зр ения вклад i–
той (i = 1… N-1, i ≠ j) компоненты в оценку
амплитуд ы j–той составляющей определяется
результ атом низкочастотной фильтрации суммы
комбинационных частот, возника ющих при
перемножении двух гармонических колеб аний с
разным и частотами или

����� (���+�)��� (���+�)=
= 0,5��[��� (���−���+�−�)+��� (���+���+�+�)] . (8)

Если разн остная ча стота ωj – ωi находится в
рабочей полосе частот интегр атора, то погрешност ь
измерений зависит от амплитуд ы ai. Для
интегратора нижняя граничная частота равна нулю,
а верхняя ωв= 1/Т . С ростом Т погрешность
измерений уменьшается , так как уменьшаетс я
число комбинац ионных частот, попадающих в
полосу частот интегратора, вместе с тем растет
разрешающая способность . Однако на большом
интервале времени иссл едуемые явления не могут
рассма триваться как стационарные процессы, и
тогда полученная оценка �̂� не соответств ует
действительному значению. Поэтому этот вид
погрешн ости может быть уменьшен только за счет
изъятия ( компенсации ) из экспер иментальных
данных наиболее м ощных мешающих
составляющих , близких по частоте к ωj [2].
Следовательно, точность изм ерения амплит уды j–
той соста вляющей зависит от т очност и измерения
амплитуд всех остальных составля ющих ,
корректностью проведения операции компенсации

American Scientific Journal № (27 ) / 201 9 31
и не может быть п овыш ена за счет существенного
увеличения инте рвала анализа Т.
Погрешности, обусловленные «дрейфом нуля»
и влиянием м етеофакт оров, также могут быть
снижены путем введения в экспериментальные
данные компенсирующих сигналов, которые
формируются на основа нии детерминирова нных
или стохастических моделей [1]. Вместе с тем вклад
в погрешность изм ерен ий шумовых составляющих
следует рассматривать как резул ьтат прямого
переноса «белого» гауссова шума в полосе ∆f = 1/πТ
Гц с це нтром ωj в область низких частот. При этом
дисперсия преобразованного процесса будет
опред еляться величиной ∆f и спектральной
плот ность ю входных шумов . Так как спе ктральная
плотность шумов растет с уменьшением част оты,
то величина вклада шумов будет разная для разных
составляющих пр иливного явления.
Рассмотренный способ оценки величины �̂�
является прямым методом подгонки. Он
предполагает задание априорной информ ации в
виде пар аметров гармонических функций, сумма
которых образует математическую модель
исследуемог о явления, а также разработку
адекватных моделей изменения хара ктеристик
измерительной системы под воздействием
метео факторов. То есть требуется дополнительные
каналы получения экспериментальных данных
таких как : температура, влажность и т.д. При этом
пре дполагается, что на инте рвале анализа
исследуемый процесс стационарен, с чем не всегда
можно согл аситься , а погрешност и задания ωi и φi
достаточно малы. С другой стороны, м етод
подгонки не позволяет уверенно утверждать, что
применяемые математич еские модел и
действительно адекватны наблюда емым явлениям.
Тем не менее , на основе критерия минимума
среднего квадрата разработан ы и нашли шир окое
применение в научно -исследовательской практике
хорошо развитые пр ограм мные продукты ETERNA
3.0 [ 4], VAV [3] и др.
Процедура оценки ajx по критерию максимума
функции правдопод обия .
Ясно, что составляющие d(t) и e(t) в (2) при
любой процеду ре обработки должны быть
скорректированы тем или иным образом.
Объединим скоррект ированные значения с n(t),
тогда экс периментальные данные y(t) следует
рассматривать как аддитивную смесь полезного
сигнала (1) и случайного процесса N(t) c
равномерной спектр альной плотностью N0/2, по
крайней мере, в полосе ∆f. Так как число компонент
в N(t) велико, его можно считать гаусс овым.
Для такой модели в соответствии с критерием
максимума правдопод обия может быть построена
эффективная оценка амплитуд �̂�. Дейст вител ьно,
гармоническое колебание с параметрами ajх ,ωj, φj
на интервале времени Т облад ает энергией

�(��)= ∫ ��2 �
0 ��� 2(���+�)�� = ��2�
2 (1−��� 2(���+�)−��� 2�
2��� )≈ ��2�
2при ωjT»1. (9)

Функция правдоподобия реализации y(t) на
интервале анализа Т при условии, что ш умы
гауссовы имеет вид [5]

�(�(�)/��)= ���� (2−(��)
0 ), (10 )
�= ∫ �(�)�(�)�� = ����∫ ��� 2(���+�)�� +��∫ ∑ �����
−1∑
�=1≠�
�∫
0
�∫
0
�∫����� (��
0
+��∫ (�)��� (���+�)�� �
0 = ���. (11)

Тогда оценкой �̂�является точка максимума
по ajх функции 2ajxZ – a2jxT/2. Единствен ный
максимум этого квадратичного двучлена
соответствует знач ению Z = ajxT/2 или

�̂�= 2
��= ��+2
�∫ ∑ ����� (���+�) −1 �=1≠� �
0 ��� (���+�)�� +2
�∫ (�)��� (���+�)�� �
0 . (12)

Соотношения (1 2) и (7) по существу
совпадают, следовательно, погрешность оценки
�̂�будет такая же, как и у оценки по ми нимуму
среднего квадрата, и все способы её уменьшения
остаются прежн ими.
С реал изацио нной точки зрения получен ная
оценк а �̂�требует сущес твенно меньших
вычислительных затрат, чем по методу минимума
среднего квадрата . Действите льно, вычисление
корреляции (1 1) проще, чем итерацио нны е
процедур ы градиентного поиска минимума
функции невязки (4). При этом существует
возможность получени я оценк и комплексной
амплитуды, т.е. тр ебование точного априорн ого
знания фазы амплитуды приливног о явления φj не
является обязательным условием. В этом случае
математическая модель иск омого приливного
явления з аписывается в комплексном виде

�̇�(�)= ����� ���� ���−������ ���� ���= ����� ���−������ ���, (13)

где j– мнимая единица, соответственно
компл ексная коррел яция равна

32 American Scientific Journal № ( 27 ) / 20 19

�̇= ∫ �(�)����� ����� +�∫ �(�)����� ����� �
0

0 = �1+��2. (14)

Тогда оценки амплитуды и фазы приливного
явления определяются в соотве тствии с
выражениями

�̂�= 1
�√�12+�22,̂�= ���� (�2/�1)+���� �1−1
2 . (15)

В этом случае погрешности оцен ок бу дут
определят ься отношением си гнал/ (шум +помеха),
где помехой являются сигналы приливных явлений
на смежных частотах .
Рассмотре нная проц едура получения
параметров приливных явлений пр именительно к
процессам, наблюдающимся в электрическом поле
Земли , рассмотрена в [6]. Разрешающая
способность метода по частоте оп ределяется
интервалом анализа Т, на котором исследуемый
пр оцесс предпо лагается локально стационарным.
Выход за временные рамки локальной
стационарности прив одит к сглаживанию
полученных оцен ок, то есть к потере важной
информации. Вместе с тем по -прежнему остается
открытым вопрос о соответствии испол ьзуемой
математической мод ели реальным явлени ям,
существующим в геофиз ических полях.
Представляет также научный интерес вопрос о
реальной ст абиль ности ωj, φj на больших
интервалах времени и как меняется при этом aj.
Ответы на эти вопросы позволяет получить
линейная фильтрация экспе риме нтальных данных
в соответствии с критерием максимума отношения
сигнал/шум [5].
Процедура оценки ajx по критерию максимума
отношения сигнал/шум (линейная согласованная
фильтрация ).
Согласованным (СФ) называется линейный
фильтр, импульсная характер истика кото рого h(t)
пропорциональна зеркальному отображению
сигнала s(t) относительно вертикали t0, дел ящей
пополам интервал времени (0, τ), где он существует,
т.е h(t, t0) = s(t0 – t). Частотная характеристика СФ
комплексно с опряжена со спектром сигнала
длител ьность ю Тs . Применительно к модели
сигнала ( 3) его амплитудно -частотн ый спектр есть
функция (при нулевом фаз овом сдвиге и единичной
ампл итуде ) [7]

��(�)= 1
2
��� [(−�)�� 2 ]
(−�)�� 2
= 1
2��� �[(�−��)��
2 ]. (16)

Фильтр с амплитудно -частотной
характеристикой (16) физически нереал изуем , так
как функция sinc (∙) не ограничена на ч астотной оси.
Однако , если Sj(ω) взвесить оконным
преобразованием с нулевыми значениями на
концах частотного интерв ала ωj ± 1/ Тs, то фильтр
становится реализуем ым, и он явл яется хорош им
приближение м к СФ для гармоническ ого сигнала
дл ительностью Тs на част оте ωj. Фактически это
есть узкополосная линейная резонансная си стема с
центральной частотой настройки ωj и рабочей
полосо й ∆ω, зависящей от Тs и типа применяемого
окна . Ширина полосы пропускания ∆ ω выбирается
достаточно малой, чтобы сигнал на выходе СФ нес
неиск аженную информацию об энергии входного
процесса в полосе ∆ω относ ительно центральной
частоты настройки фильт ра. С другой стороны, ∆ω
должна быть достаточно широкой, чтобы адекватно
отображать динамику изменения амплитуды
сигнала, т.е. быть существ енно больше
максимал ьного изменения частоты исследуемого
сигнала . Следует заметить, что ∆ω определяет
разрешающей спо собностью СФ по ча стот е,
которая не зависит от Т, как в рассмотренных выше
методах , причем Т ˃ Тs. Отклик СФ на входное
воздействие отсле живает медленное изменением
частоты и амплитуды сигнала на входе в каждый
момент времени, и он прибл изительно такой же,
какой имеет гармоническое колебание на входе
системы с этими значениями частоты и ампл итуды.
В рамках поставленной задачи оце нки
амплитуд гармонических соста вляющих в
вариациях геофизических полей Земли импульсная
переходная характеристика анализирующег о
фильтра hj(t) находится как усеченное обратное
преобразование Фурье от взвешенной функции
(16). Соответственно, реакция соглас ованного
фильтра на входное воздействие y(t) определяется
соотношен ием

�вых (�)= ∫ ℎ�(�)�(�−�)�� = ����� (���+�)= ����� (���+�+��)+ ��0
+∫ ℎ�(�)∑ ����� [��(�−�)+�] −1 �=1≠� ��0 �� +∫ ℎ�(�)(�−�)�� ��0 (17)
�вых (�)= �(�)��� �(�),
где �(�)= √�вых2 (�)+�̂вых2 (�);�(�)= ������ (�̂вых (�)/�вых (�), (18)

и �̂вых (�) - сигнал на выходе сопряженного по
Гильб ерту СФ. Огибающая S(t) содержит
детерминированную компоненту aj, которая на
большом и нтервале наблюд ения Т возможно
меняется во времени и некоррелированную с ней
случайную составляющую ξ(t), распределенн ую по

American Scientific Journal № (27 ) / 201 9 33
Релею. Соответс твенно, фаза колебания ψ(t) равна
сумме линейной составляющей ωjt , начальной
фазы φj , вносимого СФ фазов ого сдвиг а ϴj и
случайной шумовой компоненты .
Статистический анализ величин S(t) и ψ(t),
полученных при долговреме нном мониторинге ,
позволяет уверенно ответить на вопро с: параметры
как ого процесса (детерминированного или
случайного) были измерены и к аков ы их значени я.
Действительн о, если выборочно е распределени е
огибающей аппро ксимир уется обобщенной
функцией Релея -Райса (I0 – функция Бесселя
нулевого порядка)

�(�,�)= �
Δ2�−�2+�2(�)
2Δ2 0[���(�)
Δ2 ] , (19 )

то её мод а соответствует усредненному во
времени значению ��. По распред елению (19)
находится дисперсия σ2Δω, которая отражает, с
одной сторон ы, д инамику изменения aj во времени,
и энергетику шумов в полосе ∆ω на ча стоте ωj – с
другой. Тогда для известной ωj выборочное
распределение фазы (ψ(t) - ωjt) позволяет ответить
на вопрос о детерминированности выделенн ого
колебания. Если это распределе ние имеет четко
выраженный максимум и аппроксимируе тся
соотнош ением вида

�(�,�)= 1
2��−�2(�)
2Δ2 +��(�)��� (�−0)
Δ√2� �[��(�)
Δ��� (�−0)]�−�2(�)
2Δ2 ��� 2(�−0), (20)

где F(∙) – функция Крампа , то выделенное
колебание является детерминир ованным
гармонич еским процессом . При этом мода
распределения (2 0) позв оляет получить оценку
φ0=φj+ϴj , а п ри aj /σΔω» 1 оценкой частоты
выд еленного колебания является величина, равная
dψ (t)/dt. В случае, если выборочное ра спределение
фазы имеет иную форму, то выделенный про цесс не
является детерминированным [8]. Таким образом,
процедура согласованной фильтрации позволяет
экспериментально измерить начальную фазу φj,
частоту ωj и дин амику изменения амплитуды aj
выделенного колебания и отв етить на вопрос о его
детерминированн ости.
Рассмотренный подход является
инструментом , позволяющим выд елять из
экспериментальных данных сигналы приливных
явлений и получать оценки их параметров при
исследованиях любых геофизических пол ей. При
фильтр ации входного сигнала системой
примыкающих друг к другу узкополосных
филь тров эксперименталь но измеряется
переменный во времени спектр, я вляющий одной
из форм описания нестационарных процессов [ 9].
Этот м етод был и спользован для анализа динамики
вариаций напряженности электрич еского поля
Земли [10 ].
Заключение
Из рассмотренных подх одов к оценк е
параметров скрытых гармонич еских колебаний в
экспериментальных данных , полученных при
измерени и инте нсивности геофизических полей ,
метод согласованной (узкополосной) фильтр ации
является наиболее эффективной п роцедурой ,
позволяющий ответить на вопрос о
детерминированности исследуемого явления. Его
разрешающая спосо бность не ограничена временем
локальной стационарности исследуемых явл ений .
На практике метод позволяет осуществлять
непрерывный мониторинг п араметро в сигналов
приливных явлений в гео физических пол ях и
пол учать мгновенные их значения. Реализация
метода не требует использования знач ительных
вычислительных мощностей.

Литература
1. Tamura Y. A Procedure for Tidal Analysis
with a Bayesian Information Crit erion / Y.Tamura ,
T.Sato , M.Ooe , M Ishigure . – J. Geod . Soc . Japan , Vol .
104., 1991. – Pp . 507 -517.
2. Мельхиор П. Земные приливы /
П.Мельхиор. – М.: Мир, 1968. – 482с.
3. Venedikov A. Program VAV/2000 for
Analysis of Unevenly Spaced Data with Irregular Dri ft
and Colored Noise/A.Venedik ov, J. Arnoso, R.Vieira.
– J. Geod. Soc. Japan, Vol.47, No.1, 2001. – Pp. 281 -
286.
4. Wenzel H. -G. Earth Tide Analysis Package
ETERNA 3.0. Bull d' Information Mar ées Terrestres,
118, 1994. – Pp. 8719 -8721.
5. Левин Б.Р. Теорети ческие основы
статистичес кой радиотехники/ Б.Р.Левин. Т2. – М.:
Советское радио, 1968. – 504 с.
6. Грунская Л.В. Оценка параметров
электрического поля приземного слоя атмосферы
на основе корреляционного приема: Дисс. на соиск.
Ученой степени д.т.н.: 051204 /Л.В.Грунская –
Владимир, 2006. – 258 с.
7. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи
и сигналы. / И.С. Гоноро вский.
Учебник для вузов. – М.: Советское радио,
1977. – 608 с. 8. Левин Б.Р. Теоретические основы
статистической радиотехники/ Б.Р.Левин. Т1. – М.:
Сов етское радио, 1974. – 552 с.
9. Бендат Дж. Измерение и анализ случайных
процессов. Пер. с англ. под ред. И.Н.Коваленко/
Дж. Бендат, А.Пирсол. − М.: Мир, 1971. – 408 с.
10 . Ефимов В.А. Структура вариаций
электрического поля Земли в диап азоне частот
1∙10 -5 ÷2,5∙10 -5 Гц / В.А.Ефимов, Л.А.Калыгина//
Динамика сло жных систем. – 2015. - №2. – С. 39 -45.