Американский Научный Журнал ОТ ДРЕВНЕЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВЕЛИКОЙ СТЕПИ К СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Аннотация. В этой работе исследованы некоторые задачи Шопан-Ата – древнего мифологического бога овец Великой Степи, с точки зрения современной математики. Любопытным фактом в этих задачах является то, что постановка вопроса бытовая, решение интуитивное, а доказательство возможно только с применением современной математической теории! В связи с суровыми климатическими условиями или другими обстоятельствами в степи иногда необходимо было держать овец в специальных загонах. Тогда нужно было придумать способ построить загон с самой большой площадью из доступных материалов. Такие проблемы в математической науке относится к изопериметрическим задачам. Но задача требовала остроты ума, изобретательности и современных математических знаний. Если допустить, что у древних предков двух первых качеств может и было достаточно, для выживания, то со знанием математики думаем нельзя этого сказать. Впервые эти проблемы появились ІХ веку д.н.э., более 3 тысяч лет назад. Их решения были известны даже тогда, и не вызывали никаких сомнений. Но тогда у них не было строгих математических доказательств. В древние времена в степи не было ни письменного языка, ни учебных заведений, ни научных центров. Но удивительно, что Шопан-Ата смог подсказать решения проблем, возникающих в повседневной жизни кочевников, целиком и полностью соответствующие теории. Этот факт доказывает духовное богатство и высокий личный интеллект представителя Великой Степи. По-видимому это загадочное явление Великой Степи, не доказанное может быть, пока что. Также исследуются и представлены научные доказательства различных вариантов изопериметрических задач Шопан-Ата, параллели с другими известными аналогичными фактами. Скачать в формате PDF
4 American Scientific Journal № ( 30) / 20 19
КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

УДК 514.172.2

ОТ ДРЕВНЕЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВЕЛИКОЙ С ТЕПИ К СОВРЕМЕННОЙ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТ РИИ

Алданов Ербол Сатыбаевич ,
Кенебаева Динара Байтасовна,
Еслямов Серик Газизович,
Бахытжан Аскар Бакытжанович,
Инютин Сергей Петрович
Университет «Туран -Астана»,
г.Нур -Султан
Республика Казахстан

Аннотация . В этой работе исследованы некоторые задачи Шоп ан-Ата – древнего мифологического
бога овец Вели кой Степи, с точки зрения современной математики. Любопытным фактом в этих задачах
является то, что постановка вопроса бытовая, решение интуитивное, а доказательство возможно только с
применением современной математической теории!
В связи с суровыми климатическими условиями или другими обстоятельствами в степи иногда
необходимо было держать овец в специальных загонах. Тогда нужно было придумать способ построить
загон с самой большой площадью из доступных матер иалов. Такие проблемы в математической науке
относится к изопериметрическим задачам. Но задача требовала острот ы ума, изобретательности и
современных математических знаний. Если допустить, что у древних предков двух первых качеств может
и было достаточно, для выживания, то со знанием математики думаем нельзя этого сказать. Впервые эти
проблемы появились ІХ веку д.н .э., более 3 тысяч лет назад. Их решения были известны даже тогда, и не
вызывали никаких сомнений. Но тогда у них не было строгих математических доказательств.
В древние времена в степи не было ни письменного языка, ни учебных заведений, ни научных
центров . Но удивительно, что Шопан -Ата смог подсказать решения проблем, возникающих в
повседневной жизни кочевников, целиком и полностью соответствующие теории. Этот факт доказывает
духовное богатство и высокий личный интеллект представителя Великой Степи. По -вид имому это
загадочное явление Великой Степи, не доказанное может быть, пока что.
Также исследуются и представлены научные доказательства различных вариантов
изопериметрических задач Шопан -Ата, параллели с другим и известными аналогичными фактами.
Annotation. In this work some problems of Shopan -ATA – the ancient mythological God of sheep of the
great Steppe, from the point of view of modern mathemati cs are investigated. A curious fact in these problems is
that the formulation of the question is simple, the so lution is intuitive, and the proof is possible only with the use
of modern mathematical theory!
Due to severe climatic conditions or other circum stances in the steppe, it was sometimes necessary to keep
sheep in special pens. Then we had to figure out a wa y to build a pen with the largest area of available materials.
Such problems in mathematical science refers to isoperimetric problems. But the ta sk required sharpness of mind,
ingenuity and modern mathematical knowledge. If we assume that the ancient ances tors of the first two qualities
may have been enough for survival, then with the knowledge of mathematics we think we can not say this. For the
first time these problems appeared IX century BC, more than 3 thousand years ago. Their decisions were known
eve n then, and there was no doubt. But then they had no rigorous mathematical proof.
In ancient times in the steppe there was no written language, n o educational institutions, no scientific centers.
But it is surprising that Shopan -ATA was able to suggest sol utions to the problems arising in the daily life of
nomads, entirely consistent with the theory. This fact proves the spiritual wealth and high p ersonal intelligence
representative of the great Steppe. Apparently this is a mysterious phenomenon of the grea t Steppe, not proven
maybe yet.
Scientific evidence of different variants of Shopan -ATA isoperimetric problems and Parallels with other
known sim ilar facts are also investigated and presented.
Ключевые слова. Великая степь, Шопан -Ата, выпуклая кривая, выпу клая область, равновеликие
фигуры, задача изопериметрии
Key word s. Great steppe, Shopan -ATA, convex curve, convex region, equal -sized figures, is operimetry
problem

«На пути модернизации нам стоит вспомнить навыки предков» [1].
Н.Назарбаев

American Scientific Journal № ( 30) / 2019 5

1.Введение
Шопан -Ата - бог овец и овцеводов в казахской
мифологии. В Великой степи народном поверии он
считался идолом, благодетелем и покровителем
мелкого с кота (овца). Народ поклонился к Нему,
просил благополучия, покровительствовать
овцеводам, чабанам в их ратном труде.
В од ном из своих наставлении Шопан -Ата
говорит, «что нельзя не пренебречь формой загона
скота. По возможности они должны строится
просторн ыми из доступных материалов. Поэтому,
их форма должна иметь форму круга, только такая
форма дает наибольшую площадь». Здес ь устами
Шопан -Ата звучит известная задача, о площади
фигур с равными периметрами. В истории такие
задачи появились 3000 лет назад, и никто не
сомневался правильности ответа. Но
доказательство этих задач стало возможным в
конце 19 века, с помощью современн ых
математических методов .
2. Некоторые задачи Шопан -Ата дошедшие
до наших дней устами предков
Приведем некоторые из задач -наставле ния
Шопан –Ата различной вариации [2] .
Задача 1 (общий случай). Из доступных
материалов необходимо строит загон для мельк ого
скота максимальной площади. Какую
геометрическую форму должен иметь такое
строение? (по наставлению Шопан -Ата загон
должен быть кр углым);
1 частный случай. Шопан -Ата наставляет
строит из доступных материалов загон наибольшей
площади, под обрывыстым прямолинейным
склоном, применив его в качестве ограждения с
тылной стороны, для экономии этих же самых
материалов. В какой форме выгодно строит загон?
(Шопан -Ата: в форме полукруга ).
Задача 2 (общий случай). Для построения из
доступных материалов прямоугольный загон
наибольшей площади каких размеров (длину и
ширину) должен иметь прямоугольник?
Частный случай. Шопан -Ата наставляет
строит з агон в прямоугольной форме :
ограниченный с одной стороны, обрывыстим
прямолинейным склоном, с других трех сторон,
доступными материалами, размерами 1:2 для
получения наибольшей площади.
3. Современные научные обоснования
задач -наставлении Шопан -Ата
Все при веденны е в п.2 задачи Шопа н-Ата
используемые в быту кочевников Великой степи,
исходит из того, как построит загон для скота
наибольшей площади из имеющихся материалов. В
современной математике, это задача по
построению замкнутой кривой наибольшей
площади –изопериметрическая задача .
Изопериметрические теоремы. Приведем
взаимно эквивалентные предложения (і) -(ііі)
которые называются изопериметрическими
теоремами [6] .:
і. Среди плоских фигур равным периметром
наибольшую площадь имеет круг (основная).
іі. Сре ди плоских фигур равными площадями
наименьший периметр имеет круг.
Плоские фигуры имеющие равные периметры
называются «изопериметрическими», из
приведенных теорем получаем, что для площади
⥀любой фигуры изопериметрически с
окружностью радиуса ⥙, длиной ( периметром ) ⤹,
справедливо:

⥀≤ ⧳⥙ⵁ= ⧳(⤹␋╿⧳)ⵁ= ⤹ⵁ
▁⧳
или ⵃ⷗⸢
ⷐ⸹≤ ╾ . (1)

В изопериметрическом неравенстве (1)
величина ▁⥀⧳ ⤹ⵁ ▯ зависит только от формы фигуры,
а не ее размеров и называется изопериметрическим
пок азат елем .
ііі. Из всех изопериметрических плоских фигур
круг имеет наибольший изопериметрический
показатель.
Эквивалентность этих теорем можно показать
по схеме доказательств (⥐)➧ (⥐⥐)➧ (⥐⥐⥐)➧ (⥐⥐)➧ (⥐) приведенные в [ 6].
Решения задач –наставления Шопан -Ата из п.2
основаны на э ти теоремы или являются их
следствиями. Немецкий геометр Якоб Штейнер
привел изящное доказательство
изопериметрической теоремы, ниже приведем одну
из версии этого доказательства аналогичного в [ 7].
Доказател ьство приведем в следующ ем
порядке:
(A) Область, имеющая максимальную
площадь, ограниченная замкнутой кривой данной
длины ⤹выпуклая;
(B) Отрезок, соединяющий две точки
замкнутой кривой данной длины ⤹, разделяющий ее
на две равные дуги, разбивает область
ограниченную ей две на равновеликие части;
(C) Если незамкнутая кривая длины ⤹␋╿ и
отрезок соединяющий ее концы образуют фигуру
наибольш ей площади, то этой фигурой является
полукруг;
(D) Из всех фигур имеющий периметр
(длину) ⤹, круг имеет наибольшую площадь.
Доказательства (A)- (D).
Обозначим через ⧌(␓)класс замкнутых кривых
длины ⣱␓⣲.
(A): Пусть ⧌⟦⟛⧌(⤹) граница плоской области
⤳ (фигуры) максимальной площадью ⥀⟦.
Докажем что, ⤳ выпуклая. Т.е.
⟕⤼⏬⤽⟛⧌⟦⏮⤼⤽ ⟛⤳.

6 American Scientific Journal № ( 30) / 20 19
Рис. 1

Доказательство проведем от про тивного, т.е. ⤳
невыпуклая. Тогда

⟗⤼⏬⤽⟛⧌⟦⏮⤼⤽ ⟜⤳⏯

А теперь построим дугу ⤼⤴̆✭⤽ -образ дуги ⤼⤴̆⤽ относительно прямой ⤼⤽ и получим выпуклую
область (см. рис.1) ограниченная замкнутой дугой

⧌ⵀ= ⤼⤴̆′⤽⟶⤼⤿̆⤽⟛⧌(⤹) которая име ет площадь
⥀ⵀ= ⥀⟦+⥀′+⥀′⏬

т.е. площадь области ограниченная ⧌ⵀ⟛⧌(⤹)
больше площади области ⤳ ограниченная кривой
⧌⟦⟛⧌(⤹), это противоречит нашему
предположению, а значит - исходная область
⤳выпуклая.
(B): Рассмотрим ⧌⟦⟛⧌(⤹) грани цу плоской
области ⤳ с максимальной площадью ⥀⟦. И пусть
⟕⤼⏬⤽⟛⧌⟦⏮

⤼⤿̆⤽= ⤼⤴̆⤽= ⵀ
ⵁ⤹.

Покажем, что отрезок ⤼⤽ делит ⤳на
равновеликие части.

Рис.2

American Scientific Journal № ( 30) / 2019 7

Предположим, что ⤼⤽ делит ⤳ на части,
площадь одной из которых бол ьше пл ощади
второго, не ограничивая общности пусть это будет
фигура с границами ⤼⤴̆⤽⟶⤼⤽ (см. Рис.2). Тогда
аналогично тому, как мы делали это в предыдущем
случае, строим дугу ⤼⤴ ✭⤽, которая является
образом дуги ⤼⤴⤽ относительно отрезка ⤼⤽ , и

⤼⤴̆⤽= ⤼⤴̆′⤽➧ ⤼⤴̆⤽+⤼⤴̆′⤽= ⤹,

следовательно, получаем новую область с границами

⧌ⵀ= ⤼⤴̆⤽⟶⤼⤴̆′⤽

имеющая площадь ⥀ⵀ> ⥀⟦, опять это
противоречит условию задачи, а значит
предположение о том что ⤼⤽ делит ⤳на не равные
части, неверно.
(C): Пусть даны незамкнутая дуга ⧌ , ее длина
равная величине ⷐ
ⵁ и концы ⤼ и ⤽. Рассмотрим
плоскую фигуру ⤳образованная ⧌, и отрезком ⤼⤽ соединяющий ее концы. Допустим, что данная
фигура имеет наибольшую площадь из всех
возможных из к ласса ⧌(ⷐ
ⵁ+⤼⤽ ). Обозначим (см.
Рис. 3)

⧌⟶⤼⤽ = ⧦⟛⧌(ⷐ
ⵁ+⤼⤽ ).

Теперь построим еще одну замкнутую дугу

⧌′⟶⤼′⤽′= ⧦′ для которой выполнимы:

⤼⤻ = ⤼′⤻⏬⤽⤻ = ⤽′⤻⏬ (2)
⟶⤼⤻ =⟶⤼′⤻⏬⟶⤽⤻ ⟶⤽′⤻ (3)
⟶⤼⤻ ⟶⟶⤽⤻ =⟶⤼′⤻⟶⟶⤽′⤻ = ⤹␋╿ (4)
т.е. ⧦′⟛⧌(ⷐ
ⵁ+⤼⤽ )
Из (2) -(4) следует, что
⥀(⟶⤼⤻ ⟶⤼⤻ )= ⥀(⟶⤼′⤻⟶⤼′⤻)⏬
⥀(⟶⤽⤻ ⟶⤽⤻ )= ⥀(⟶⤽′⤻⟶⤽′⤻)⏬

где, ⥀(⟶⏯⏯⏯⟶⏯⏯⏯)означает площадь фигуры из соответствующих дуги и отрезка (рис. 3).

Далее рассмотрим ⧍⤼⤻⤽ и ⧍⤼ ✭⤻⤽ ✭ вписан ные
в ⤼⤻̆⤽ и ⤼′⤻̆⤽′, соответственно.
Приведем без доказательства известную
лемму.
Лемма. Среди всех треугольников
построенные из двух заданных сторон наибольшую
площадь имеет прямоугольный треугольних.
По нашему предположению ⤼⤻̆⤽является
реш ением задачи и из условии лем мы в ⧍⤼⤻⤽ угол
⤼⤻⿬⤽= ⧳␋╿ и с учетом того, что для
полуокружности любой вписанный треугольник к
окружности, одной стороной которого служит
диаметр этой окружности, является
прямоугольным, то можно утвердить что ⤼⤻⤽
по луо кружность (рис. 3).

Рис. 3

8 American Scientific Journal № ( 30) / 20 19
(D): Из предыдущего пункта легко получит,
что из всех плоских фигур с равными периметрами
наибольшую площадь имеет окружность.
Итак, мы получили ответ и доказательство 1 -
ой задачи Шопан -Ата. Площадь строение в этой
зада чи будет равна
⥀= ⤹ⵁ
▁⧳⏯
Нельзя не восхищаться тому, что в условиях
отсутствия в Великой степи ни устойчивых
письменных традиций, ни научных центров, ни
библиотек предками в быту применялись
идеальные технические решения задач.
Ответ и доказательс тво 1 -го частного с лучая
получаем из (C). Данный случай –аналог
знаменитой задачи Дидоны [6] -[7] .
Задача 2 (и ее частный случай) в п.2 имеет
бытовой характер по своей пр ироде, зарождена
бытовой потребностью, строгое доказательство
которой можно получить с о средствами
дифференциального исчисления. Читателям
знакомыми данной теорией из анали за не
составляет большого труда получить ответы на эти
задачи, что и мы оставляем к их рассмотрению.
4. Заключение
Итак, нами указаны связь, преемственность
древных быто вых проблем с современной
математической теорией. Можн о только
догадываться, что задачи -наставления Шопан -Ата
появились от потребительских нужд Великой
Степи, но их решения применялись как результат
научных расчетов, теоретических исследований.
Это феномен присущий Великой Степи, на
высоком интуитивном уровне выдавать ответы к
задачам, теоретиче ские решения которых было
невозможным в связи древности их появления –
боле е 3000 лет назад и отсутствием научных школ
[5] . Подобные вопросы, вопросы духовного мира и
богатства нашего народа требует системный
подход для фундаментального исследования, и
должен стать краеугольным камнем в
модернизации современного общества Великой
Степи. В своей статье [ 1] «ВЗГЛЯД В БУДУЩЕЕ:
МОДЕРНИЗАЦИЯ ОБЩЕСТВЕННОГО
СОЗНАНИЯ» Елбасы Н. Назарбаев написал,
цитируем: «Без опоры на национально -культурные
корни модернизация повиснет в воздухе. Я же хочу,
чтобы она твердо стояла на земле. А это значит, ч то
история и национальные традиции должны быть
обязательно учтены».
Работа выполнена в рам ках научно -
технической программы №BR05236075
«Исследование, анализ и систематизация древных
задач Великой степи как духовное наследие и
фольклорная ценность казахско го народа» по
направлению «Научные основы «Мангилик Ел».

ЛИТЕРАТУРА
1. Нурсултан Назарбаев. Взгляд в будущее:
мод ернизация общественного сознания (статьи,
интервью, выступления, экспертные комментарии
и справочно - аналитические материалы) – Астана:
Казахстанский институт стратегиче ских
исследований при Президенте Республики
Казахстан, 2017. – 51 2 с.
2. S.Baibekob , B. Tleu ’han . Uly Dalanyn ’ ejelgi
100 ko’ne esebi . А lmaty , 2018 j.
3. Е. Алданов, С.Байбеков и др.
Преемственность древних задач Великой степи.
Информатика и прикладная математика:
Математическая III международная научная
конференция. Сборник статьей, 2 ч. г. Алматы, 26 -
29 сентября, 201 8 г.
4. Е. Алданов, С.Байбеков и др. Значе ние
исследования древних задач как духовная ценность
Великой степи в результате интуитивно -
логического осмысления. Информатика и
прикладная математика: Математическая III
ме жду народная научная конференция. Сборник
статьей, 2ч. 26 -29 сентября, Алматы 2018 г .
5. Е. Алданов, С.Байбеков. Проблемы
алгебры, анализа и дифференциальных уравнений:
Математическая VIII международная научная
конференция. Материалы конференций, г. Актобе ,
1 ноября , 2018 г.
6. G. Polya. Mathematics and plausible
reasining. Induction and analog y in mathematics. Vol
1. Prinseton University press. Prinseton, New Jersey.
1954.
7. Р. Курант, Г. Роббинс. Ч то такое
математика? Элементарный очерк идей и методов .
Перевод с а нглийского под редакцией А. Н.
Колмогорова. -3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО,
2001. — 568 с.